Exercício 4. (2,0 pts) Resolva a congruência quadrática
x^{2} \equiv 9 \quad(\bmod 35), \quad x \in \mathbb{Z},
indicando todas as soluções inteiras módulo 35 e distinguindo a menor solução positiva.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência quadrática
x^{2} \equiv 9 \pmod{35},
indicando todas as soluções inteiras módulo \,35 e, entre elas, destacando a menor solução positiva.
Informações dadas: o módulo é \,35. Não há outras restrições sobre x além de ser inteiro. A tarefa é listar todas as classes de equivalência \bmod 35 que satisfazem a congruência e identificar a menor representante positiva.

Passo 2

Estratégia básica (explicação didática). Como \,35=5\cdot7 e \gcd(5,7)=1, podemos resolver a congruência módulo \,5 e módulo \,7 separadamente e então combinar as soluções usando o princípio do sistema de congruências (Teorema Chinês dos Resto). Isso funciona porque uma solução módulo \,35 corresponde exatamente a um par de soluções simultâneas, uma módulo \,5 e outra módulo \,7. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Resolver a congruência módulo \,5. Reduzo 9 módulo \,5:
9 \equiv 4 \pmod{5}.
Então precisamos de
x^{2} \equiv 4 \pmod{5}.
Para achar soluções, listamos os quadrados dos restos 0,1,2,3,4 módulo \,5:
0^{2}\equiv0,\quad 1^{2}\equiv1,\quad 2^{2}\equiv4,\quad 3^{2}\equiv9\equiv4,\quad 4^{2}\equiv16\equiv1 \pmod{5}.
Logo os x que dão quadrado congruente a 4 são x\equiv2 e x\equiv3 (note que 3\equiv-2\pmod5). Portanto as soluções módulo \,5 são
x\equiv 2\pmod{5}\quad\text{e}\quad x\equiv 3\pmod{5}.

Passo 4

Resolver a congruência módulo \,7. Reduzo 9 módulo \,7:
9 \equiv 2 \pmod{7}.
Então precisamos de
x^{2} \equiv 2 \pmod{7}.
Listamos os quadrados dos restos 0,1,2,3,4,5,6 módulo \,7:
0^{2}\equiv0,\;1^{2}\equiv1,\;2^{2}\equiv4,\;3^{2}\equiv9\equiv2,\;4^{2}\equiv16\equiv2,\;5^{2}\equiv25\equiv4,\;6^{2}\equiv36\equiv1\pmod{7}.
Observamos que 3^{2}\equiv2 e 4^{2}\equiv2. Assim as soluções módulo \,7 são
x\equiv 3\pmod{7}\quad\text{e}\quad x\equiv 4\pmod{7}.

Passo 5

Contando soluções com o Teorema Chinês dos Restos (explicação). Temos 2\) soluções módulo \(\,5\) e \(2\) soluções módulo \(\,7\). Como os módulos são coprimos, cada combinação dá uma solução distinta módulo \(\,35\). Logo haverá \(2\cdot2=4\) soluções módulo \(\,35\). Vou combinar as quatro possibilidades, resolvendo sistemas do tipo \[\begin{cases} x\equiv a\pmod{5},\\[4pt] x\equiv b\pmod{7}, \end{cases}
para (a,b)\] em \(\{2,3\}\times\{3,4\}. Usarei o método prático: escrever x=a+5k e impor a congruência módulo \,7 para encontrar k.]

Passo 6

Combinações e cálculos (cada linha detalhada):
  1. Caso a=2, b=3. Escrevo x=2+5k. Impor x\equiv3\pmod{7}
2+5k\equiv3\pmod{7}\quad\Rightarrow\quad 5k\equiv1\pmod{7}.
Para resolver 5k\equiv1\pmod{7} notamos que 5\cdot3=15\equiv1\pmod{7}, então a inversa de 5 módulo 7 é 3. Multiplicando por 3 obtemos k\equiv3\pmod{7}. Tomando k=3
x=2+5\cdot3=17.
Logo uma solução é x\equiv17\pmod{35}.
  1. Caso a=2, b=4. x=2+5k e
2+5k\equiv4\pmod{7}\quad\Rightarrow\quad 5k\equiv2\pmod{7}.
Multiplicando por 3 (inversa de 5 módulo 7) obtemos k\equiv3\cdot2=6\pmod{7}. Tomando k=6
x=2+5\cdot6=32.
Logo x\equiv32\pmod{35} é solução.
  1. Caso a=3, b=3. x=3+5k e
3+5k\equiv3\pmod{7}\quad\Rightarrow\quad 5k\equiv0\pmod{7}.
Como 5 é invertível módulo 7, isso implica k\equiv0\pmod{7}. Tomando k=0
x=3.
Assim x\equiv3\pmod{35} é solução.
  1. Caso a=3, b=4. x=3+5k e
3+5k\equiv4\pmod{7}\quad\Rightarrow\quad 5k\equiv1\pmod{7}.
Novamente multiplicando por 3 obtemos k\equiv3\pmod{7}. Tomando k=3
x=3+5\cdot3=18.
Logo x\equiv18\pmod{35} é solução.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança). Vou checar os quadrados modulo \,35 das soluções encontradas:
3^{2}=9\equiv9\pmod{35},\quad 17^{2}=289\equiv289-8\cdot35=289-280=9\pmod{35},
18^{2}=324\equiv324-9\cdot35=324-315=9\pmod{35},\quad 32^{2}=1024\equiv1024-29\cdot35=1024-1015=9\pmod{35}.
Todos dão 9 módulo \,35, portanto estão corretos. As quatro classes distintas modulo \,35 são \,3,17,18,32.

Resposta

Soluções módulo 35: \,x\equiv 3,\;17,\;18,\;32\pmod{35}.
Menor solução positiva: \,x=3.

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