Exercício 4. (2,0 pts) Resolva a congruência quadrática
indicando todas as soluções inteiras módulo 35 e distinguindo a menor solução positiva.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a congruência quadrática
indicando todas as soluções inteiras módulo
e, entre elas, destacando a menor solução positiva.
Informações dadas: o módulo é . Não há outras restrições sobre
além de ser inteiro. A tarefa é listar todas as classes de equivalência
que satisfazem a congruência e identificar a menor representante positiva.
Informações dadas: o módulo é
Passo 2
Estratégia básica (explicação didática). Como
e
, podemos resolver a congruência módulo
e módulo
separadamente e então combinar as soluções usando o princípio do sistema de congruências (Teorema Chinês dos Resto). Isso funciona porque uma solução módulo
corresponde exatamente a um par de soluções simultâneas, uma módulo
e outra módulo
. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Resolver a congruência módulo
. Reduzo
módulo
:
Então precisamos de
Para achar soluções, listamos os quadrados dos restos
módulo
:
Logo os
que dão quadrado congruente a
são
e
(note que
). Portanto as soluções módulo
são
Passo 4
Resolver a congruência módulo
. Reduzo
módulo
:
Então precisamos de
Listamos os quadrados dos restos
módulo
:
Observamos que
e
. Assim as soluções módulo
são
Passo 5
Contando soluções com o Teorema Chinês dos Restos (explicação). Temos
para
. Usarei o método prático: escrever
e impor a congruência módulo
para encontrar
.]
Passo 6
Combinações e cálculos (cada linha detalhada):
- Caso
, . Escrevo . Impor dá
Para resolver
notamos que
, então a inversa de
módulo
é
. Multiplicando por
obtemos
. Tomando
dá
Logo uma solução é
.
- Caso
, . e
Multiplicando por
(inversa de
módulo
) obtemos
. Tomando
dá
Logo
é solução.
- Caso
, . e
Como
é invertível módulo
, isso implica
. Tomando
dá
Assim
é solução.
- Caso
, . e
Novamente multiplicando por
obtemos
. Tomando
dá
Logo
é solução.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança). Vou checar os quadrados modulo
das soluções encontradas:
Todos dão
módulo
, portanto estão corretos. As quatro classes distintas modulo
são
.
Resposta
Soluções módulo
:
Menor solução positiva:
Menor solução positiva: