Exercício 5. (2,0 pts) Um professor propôs a seguinte questão em uma turma do Ensino Médio: “Um número natural deixa resto 2 quando dividido por 5 , resto 3 quando dividido por 7 e resto 4 quando dividido por 9 . Qual é o menor número com essa propriedade?”
(a) Modele a situação como um sistema de congruências.
(b) Resolva o sistema.
(c) Escreva um comentário (6 a 8 linhas) sobre como esse tipo de problema pode ser usado para introduzir a ideia de congruência de forma motivadora, relacionando com situações reais de calendário, horários ou contagem de objetos.
Passo 1
O enunciado pede três coisas, vou listar direitinho o que temos e o que é pedido:
O que é pedido:
(a) Modelar a situação como um sistema de congruências.
(b) Resolver esse sistema e achar o menor número natural que satisfaz todas as condições.
(c) Escrever um comentário (6 a 8 linhas) sobre como usar esse tipo de problema para introduzir congruência, relacionando com calendário, horários ou contagem.
Informações dadas (os dados do problema):
Um número natural deixa resto 2 quando dividido por 5.
O mesmo número deixa resto 3 quando dividido por 7.
O mesmo número deixa resto 4 quando dividido por 9.
Observação importante para a resolução: os módulos 5, 7 e 9 são pares entre si? (vai ser útil depois) — todos são coprimos entre si, porque \gcd(5,7)=1, \gcd(5,9)=1, \gcd(7,9)=1. Isso garante unicidade da solução módulo 315 (produto 5\cdot7\cdot9).
Passo 2
(a) Modelagem em congruências — escrever cada condição como congruência.
A frase "um número deixa resto 2 quando dividido por 5" vira a congruência
x \equiv 2 \pmod{5}
Analogamente as outras duas condições viram
x \equiv 3 \pmod{7}
x \equiv 4 \pmod{9}
Portanto o sistema pedido é exatamente essas três congruências.
Passo 3
Explicando o método que vou usar — o Teorema Chinês dos Restos (CRT) de forma construtiva.
Quando os módulos n_1,n_2,\dots,n_k são coprimos entre si, existe uma solução única módulo N = n_1 n_2\cdots n_k.
A construção padrão é: seja N = \prod_{i} n_i. Para cada i define-se N_i = N / n_i. Depois encontra-se um multiplicador y_i tal que N_i y_i \equiv 1 \pmod{n_i} (ou seja, y_i é o inverso multiplicativo de N_i módulo n_i). A solução é então
x \equiv \sum_{i} a_i N_i y_i \pmod{N},
onde a_i é o resto exigido na congruência x\equiv a_i\pmod{n_i}.
Aqui, explicando as variáveis:
n_i são os módulos (no nosso caso 5,7,9),
a_i são os restos (2,3,4),
N é o produto total (N=5\cdot7\cdot9),
N_i é o produto dos outros módulos (ou seja N dividido por n_i),
y_i é o inverso de N_i módulo n_i (um número tal que N_i y_i \equiv 1 \pmod{n_i}).
Vou aplicar exatamente essa fórmula passo a passo.
Primeiro reduzimos 63 módulo 5: 63\equiv 3\pmod{5}.
Precisamos de y_1 tal que 3y_1\equiv 1\pmod{5}. Testando pequenos valores: 3\cdot1=3, 3\cdot2=6\equiv1\pmod{5}. Portanto y_1=2.
Para n_2=7 e N_2=45:
45\equiv 3\pmod{7} (porque 42 é múltiplo de 7 e sobra 3).
Procuramos y_2 com 3y_2\equiv1\pmod{7}. Testando: 3\cdot5=15\equiv1\pmod{7}. Então y_2=5.
Para n_3=9 e N_3=35:
35\equiv 8\pmod{9} (pois 9\cdot3=27, sobra 8).
Queremos 8y_3\equiv1\pmod{9}. Note que 8\equiv -1\pmod{9}, então 8\cdot8=64\equiv1\pmod{9}. Logo y_3=8.
Observação pedagógica rápida sobre inversos: quando os módulos são pequenos, é prático testar 1,2,\dots até achar o inverso; com números maiores usa-se o algoritmo de Euclides estendido.
Passo 6
Aplicar a fórmula do CRT: x \equiv \sum a_i N_i y_i \pmod{N}.
Temos a_1=2, a_2=3, a_3=4.
Calculamos os termos:
a_1 N_1 y_1 = 2\cdot 63\cdot 2 = 252.
a_2 N_2 y_2 = 3\cdot 45\cdot 5 = 675.
a_3 N_3 y_3 = 4\cdot 35\cdot 8 = 1120.
Soma total:
252 + 675 + 1120 = 2047.
Portanto, pelo CRT,
x \equiv 2047 \pmod{315}.
Passo 7
Achar o menor representante não-negativo da classe x \equiv 2047 \pmod{315}.
Para isso reduzimos 2047 módulo 315. Calculamos quantas vezes 315 cabe em 2047:
315\cdot6 = 1890.
2047-1890=157.
Logo
2047 \equiv 157 \pmod{315}.
Assim a classe é x \equiv 157 \pmod{315}. O menor número natural que satisfaz todas as três congruências é o representante 157 (positivo e menor que 315).
Passo 8
Comentário didático (parte (c)) — 7 linhas conforme pedido, para usar em sala e motivar a ideia de congruência:
Problemas assim mostram ciclos: pensar em “sobras” é como pensar em posições que se repetem depois de um certo período. \n
No calendário, dias da semana são módulo 7: se hoje é quarta e queremos saber que dia será daqui a 10 dias, usamos congruência. \n
Em horários, um relógio de 12 horas usa módulo 12: somar horas e tomar o resto é o mesmo que trabalhar com congruência. \n
Contagem de objetos agrupados (caixas com 5 itens) também gera restos iguais ao enunciado: quantos sobram se não completamos uma caixa inteira? \n
Mostrar um problema com três condições diferentes (como 5,7,9) revela que podemos combinar ciclos distintos para achar um instante comum. \n
Isso torna a congruência concreta: não é só definição, é previsão de quando coisas que repetem irão coincidir. \n
Começar com exemplos reais (dias, horas, caixas) torna a definição x\equiv a\pmod{n} natural e motivadora.
Resposta
(a) \begin{cases}
x \equiv 2 \pmod{5},\\\ x \equiv 3 \pmod{7},\\\ x \equiv 4 \pmod{9}
\end{cases}
(b) \,157
(c) Problemas como este mostram ciclos e “sobras” reais: dias da semana (módulo 7), horários em relógios (módulo 12) e caixas com itens (restos ao dividir) são exemplos concretos; ao combinar ciclos diferentes (como 5,7,9) aprendemos que há momentos em que esses ciclos coincidem e podemos prever quando isso ocorre usando congruências, o que torna o conceito motivador e aplicável em situações cotidianas.