Exercício 5. (2,0 pts) Um professor propôs a seguinte questão em uma turma do Ensino Médio: “Um número natural deixa resto 2 quando dividido por 5 , resto 3 quando dividido por 7 e resto 4 quando dividido por 9 . Qual é o menor número com essa propriedade?”
(a) Modele a situação como um sistema de congruências.
(b) Resolva o sistema.
(c) Escreva um comentário (6 a 8 linhas) sobre como esse tipo de problema pode ser usado para introduzir a ideia de congruência de forma motivadora, relacionando com situações reais de calendário, horários ou contagem de objetos.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, vou listar direitinho o que temos e o que é pedido:
  • O que é pedido:
    1. (a) Modelar a situação como um sistema de congruências.
    2. (b) Resolver esse sistema e achar o menor número natural que satisfaz todas as condições.
    3. (c) Escrever um comentário (6 a 8 linhas) sobre como usar esse tipo de problema para introduzir congruência, relacionando com calendário, horários ou contagem.
  • Informações dadas (os dados do problema):
    • Um número natural deixa resto 2 quando dividido por 5.
    • O mesmo número deixa resto 3 quando dividido por 7.
    • O mesmo número deixa resto 4 quando dividido por 9.
  • Observação importante para a resolução: os módulos 5, 7 e 9 são pares entre si? (vai ser útil depois) — todos são coprimos entre si, porque \gcd(5,7)=1, \gcd(5,9)=1, \gcd(7,9)=1. Isso garante unicidade da solução módulo 315 (produto 5\cdot7\cdot9).

Passo 2

(a) Modelagem em congruências — escrever cada condição como congruência.
  • A frase "um número deixa resto 2 quando dividido por 5" vira a congruência
x \equiv 2 \pmod{5}
  • Analogamente as outras duas condições viram
x \equiv 3 \pmod{7}
x \equiv 4 \pmod{9}
Portanto o sistema pedido é exatamente essas três congruências.

Passo 3

Explicando o método que vou usar — o Teorema Chinês dos Restos (CRT) de forma construtiva.
  • Quando os módulos n_1,n_2,\dots,n_k são coprimos entre si, existe uma solução única módulo N = n_1 n_2\cdots n_k.
  • A construção padrão é: seja N = \prod_{i} n_i. Para cada i define-se N_i = N / n_i. Depois encontra-se um multiplicador y_i tal que N_i y_i \equiv 1 \pmod{n_i} (ou seja, y_i é o inverso multiplicativo de N_i módulo n_i). A solução é então
x \equiv \sum_{i} a_i N_i y_i \pmod{N},
onde a_i é o resto exigido na congruência x\equiv a_i\pmod{n_i}.
  • Aqui, explicando as variáveis:
    • n_i são os módulos (no nosso caso 5,7,9),
    • a_i são os restos ( 2,3,4),
    • N é o produto total ( N=5\cdot7\cdot9),
    • N_i é o produto dos outros módulos (ou seja N dividido por n_i),
    • y_i é o inverso de N_i módulo n_i (um número tal que N_i y_i \equiv 1 \pmod{n_i}).
  • Vou aplicar exatamente essa fórmula passo a passo.

Passo 4

Calcular N e os N_i.
  • Produto total:
N = 5\cdot7\cdot9 = 315.
  • Para cada módulo:
    • Para n_1=5: N_1 = \dfrac{315}{5}=63.
    • Para n_2=7: N_2 = \dfrac{315}{7}=45.
    • Para n_3=9: N_3 = \dfrac{315}{9}=35.

Passo 5

Encontrar os inversos y_i (cada y_i satisfaz N_i y_i \equiv 1 \pmod{n_i}).
  • Para n_1=5 e N_1=63:
    • Primeiro reduzimos 63 módulo 5: 63\equiv 3\pmod{5}.
    • Precisamos de y_1 tal que 3y_1\equiv 1\pmod{5}. Testando pequenos valores: 3\cdot1=3, 3\cdot2=6\equiv1\pmod{5}. Portanto y_1=2.
  • Para n_2=7 e N_2=45:
    • 45\equiv 3\pmod{7} (porque 42 é múltiplo de 7 e sobra 3).
    • Procuramos y_2 com 3y_2\equiv1\pmod{7}. Testando: 3\cdot5=15\equiv1\pmod{7}. Então y_2=5.
  • Para n_3=9 e N_3=35:
    • 35\equiv 8\pmod{9} (pois 9\cdot3=27, sobra 8).
    • Queremos 8y_3\equiv1\pmod{9}. Note que 8\equiv -1\pmod{9}, então 8\cdot8=64\equiv1\pmod{9}. Logo y_3=8.
Observação pedagógica rápida sobre inversos: quando os módulos são pequenos, é prático testar 1,2,\dots até achar o inverso; com números maiores usa-se o algoritmo de Euclides estendido.

Passo 6

Aplicar a fórmula do CRT: x \equiv \sum a_i N_i y_i \pmod{N}.
  • Temos a_1=2, a_2=3, a_3=4.
  • Calculamos os termos:
    • a_1 N_1 y_1 = 2\cdot 63\cdot 2 = 252.
    • a_2 N_2 y_2 = 3\cdot 45\cdot 5 = 675.
    • a_3 N_3 y_3 = 4\cdot 35\cdot 8 = 1120.
  • Soma total:
252 + 675 + 1120 = 2047.
  • Portanto, pelo CRT,
x \equiv 2047 \pmod{315}.

Passo 7

Achar o menor representante não-negativo da classe x \equiv 2047 \pmod{315}.
  • Para isso reduzimos 2047 módulo 315. Calculamos quantas vezes 315 cabe em 2047:
    • 315\cdot6 = 1890.
    • 2047-1890=157.
  • Logo
2047 \equiv 157 \pmod{315}.
  • Assim a classe é x \equiv 157 \pmod{315}. O menor número natural que satisfaz todas as três congruências é o representante 157 (positivo e menor que 315).

Passo 8

Comentário didático (parte (c)) — 7 linhas conforme pedido, para usar em sala e motivar a ideia de congruência:
  • Problemas assim mostram ciclos: pensar em “sobras” é como pensar em posições que se repetem depois de um certo período. \n
  • No calendário, dias da semana são módulo 7: se hoje é quarta e queremos saber que dia será daqui a 10 dias, usamos congruência. \n
  • Em horários, um relógio de 12 horas usa módulo 12: somar horas e tomar o resto é o mesmo que trabalhar com congruência. \n
  • Contagem de objetos agrupados (caixas com 5 itens) também gera restos iguais ao enunciado: quantos sobram se não completamos uma caixa inteira? \n
  • Mostrar um problema com três condições diferentes (como 5,7,9) revela que podemos combinar ciclos distintos para achar um instante comum. \n
  • Isso torna a congruência concreta: não é só definição, é previsão de quando coisas que repetem irão coincidir. \n
  • Começar com exemplos reais (dias, horas, caixas) torna a definição x\equiv a\pmod{n} natural e motivadora.

Resposta

(a) \begin{cases} x \equiv 2 \pmod{5},\\\ x \equiv 3 \pmod{7},\\\ x \equiv 4 \pmod{9} \end{cases}
(b) \,157
(c) Problemas como este mostram ciclos e “sobras” reais: dias da semana (módulo 7), horários em relógios (módulo 12) e caixas com itens (restos ao dividir) são exemplos concretos; ao combinar ciclos diferentes (como 5,7,9) aprendemos que há momentos em que esses ciclos coincidem e podemos prever quando isso ocorre usando congruências, o que torna o conceito motivador e aplicável em situações cotidianas.

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