Encontre os pontos críticos da função:
f(x)=3 x^5-5 x^3+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os pontos críticos da função $ f(x) = 3x^{5} - 5x^{3} + 3 $. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções, como onde elas têm máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Usando as regras de derivação:
f(x)
Calculando cada termo:
f'(x) = ddx(3x^5) - ddx(5x^3) + ddx(3)
f'(x) = 15x^4 - 15x^2 + 0

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação onde a derivada é igual a zero:
15x^4 - 15x^2 = 0
Podemos fatorar essa equação:
15x^2(x^2 - 1) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ 15x^{2} = 0 $ 15x^2 = 0 $ x = 0 $
  2. $ x^{2} - 1 = 0 $ Rightarrow $ x^{2} = 1 $ x = 0 $ x = \pm 1 $

Passo 4

Portanto, os valores de $ x $ que tornam a derivada zero são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Esses são os pontos críticos da função, onde ela pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Resposta

Os pontos críticos da função são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

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