Encontre os pontos críticos da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os pontos críticos da função $ f(x) = 3x^{5} - 5x^{3} + 3 $. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções, como onde elas têm máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Usando as regras de derivação:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação onde a derivada é igual a zero:
Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ 15x^{2} = 0 $
$ x = 0 $ - $ x^{2} - 1 = 0 $
$ x^{2} = 1 $ $ x = \pm 1 $
Passo 4
Portanto, os valores de $ x $ que tornam a derivada zero são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Esses são os pontos críticos da função, onde ela pode ter máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Resposta
Os pontos críticos da função são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.