Encontre os pontos críticos da função f(x) = x^4 - 4x + 4.

Passo 1

A questão pede para encontrar os pontos críticos da função f(x) = x^4 - 4x + 4. O conteúdo envolvido é derivadas (regra do poder) e definição de ponto crítico: valores de x onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não está definida.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Aplicando a regra do poder ( d(x^n)/dx = n x^n-1) e sabendo que a derivada de constante é zero, temos:
f'(x) = 4x^3 - 4

Passo 3

Agora resolvemos f'(x)=0 para encontrar as abscissas dos pontos críticos. Temos:
4x^3 - 4 = 0 Longrightarrow x^3 = 1 Longrightarrow x = 1

Passo 4

Como f'(x) é um polinômio, está definido em todo R, logo não há pontos onde f'(x) deixe de existir.

Passo 5

Para obter o ponto crítico completo, calculamos f(1):
f(1) = 1^4 - 4cdot1 + 4 = 1 - 4 + 4 = 1

Passo 6

Portanto, o único ponto crítico é o par (1,1).

Resposta

O único ponto crítico da função é (1,1).

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