f(x)=c cos x se x >= 0 x^2-b se x<0
O valor de b que torna f derivável em x0=0 é:
Escolha uma opção:
a. b=1
b. Não existe b que torne f derivável em x0=0.
c. b=2
d. b=-1
e. b=0
Pesqu

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de $ b $ que faz a função $ f(x) $ ser derivável em $ x_0 = 0 $. A função está definida de forma diferente para $ x \geq 0 $ e para $ x < 0 $:
b
Então, vamos precisar entender sobre continuidade e derivabilidade de funções, especialmente em pontos onde a definição muda.

Passo 2

Primeiro, para que a função seja derivável em $ x_0 = 0 $, ela precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita (valores maiores ou iguais a 0) deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda (valores menores que 0), e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 0 $.

Passo 3

Vamos calcular $ f(0) $:
Como $ 0 \geq 0 $, usamos a primeira parte da função:
f(0)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x \to 0^- $):
f(x)
Para que a função seja contínua em $ x = 0 $, esses limites devem ser iguais:
x

Passo 5

Resolvendo a equação $ -b = 1 $:
-b = 1

Passo 6

Agora, precisamos verificar se a função é derivável em $ x = 0 $. Para isso, as derivadas pela esquerda e pela direita em $ x = 0 $ devem ser iguais.
Vamos calcular a derivada de cada parte da função:
  • Para $ x \geq 0 $:
x = 0
Então, a derivada pela direita em $ x = 0 $ é:
x = 0
  • Para $ x < 0 $:
x >= 0
Então, a derivada pela esquerda em $ x = 0 $ é:
f(x) = cos x Rightarrow f'(x) = -sin x
Como $ f’(0^+) = f’(0^-) = 0 $, a derivada existe e é igual em ambos os lados.

Resposta

A opção correta é:
d. $ b = -1 $

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