O valor de
que torna
derivável em
é:
Escolha uma opção:
a.
b. Não existe
que torne
derivável em
.
c.
d.
e.
Pesqu
Escolha uma opção:
a.
b. Não existe
c.
d.
e.
Pesqu
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de $ b $ que faz a função $ f(x) $ ser derivável em $ x_0 = 0 $. A função está definida de forma diferente para $ x \geq 0 $ e para $ x < 0 $:
Então, vamos precisar entender sobre continuidade e derivabilidade de funções, especialmente em pontos onde a definição muda.
Passo 2
Primeiro, para que a função seja derivável em $ x_0 = 0 $, ela precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita (valores maiores ou iguais a 0) deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda (valores menores que 0), e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 0 $.
Passo 3
Vamos calcular $ f(0) $:
Como $ 0 \geq 0 $, usamos a primeira parte da função:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x \to 0^- $):
Para que a função seja contínua em $ x = 0 $, esses limites devem ser iguais:
Passo 5
Resolvendo a equação $ -b = 1 $:
Passo 6
Agora, precisamos verificar se a função é derivável em $ x = 0 $. Para isso, as derivadas pela esquerda e pela direita em $ x = 0 $ devem ser iguais.
Vamos calcular a derivada de cada parte da função:
- Para $ x \geq 0 $:
Então, a derivada pela direita em $ x = 0 $ é:
- Para $ x < 0 $:
Então, a derivada pela esquerda em $ x = 0 $ é:
Como $ f’(0^+) = f’(0^-) = 0 $, a derivada existe e é igual em ambos os lados.
Resposta
A opção correta é:
d. $ b = -1 $