Calcule a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
A tarefa é calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o numerador é e o denominador é
. Não há outras condições explicitadas (domínio implícito é todo
porque
para todo
).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o numerador é
Passo 2
Escolha do método: como temos uma função dada por uma razão (numerador dividido por denominador), o método direto e mais básico é usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui identificamos
Antes de aplicar a fórmula, vamos calcular
e
usando regras básicas: a regra da soma (derivada da soma é soma das derivadas) e a regra do poder (derivada de
é
), além da constante multiplicativa (derivada de
é
).
Passo 3
Calcular
e
:
Para :
Para
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Logo,
Para
:
- derivada de
é ; - derivada de
(constante) é .
Logo,
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente:
Vamos desenvolver o numerador passo a passo para simplificar.
Passo 5
Expandir o primeiro produto do numerador:
Calculando termo a termo:
Somando:
Passo 6
Expandir o segundo produto do numerador:
Calculando:
Portanto
Passo 7
Subtrair o segundo produto do primeiro (conforme a fórmula):
Distribuindo o sinal negativo no segundo parêntese:
Agrupando termos semelhantes:
logo
Passo 8
Escrevemos a derivada simplificada juntando numerador e denominador:
Este é o resultado final da derivada. Se quiser, dá para checar rapidamente diferenciando usando a forma
e aplicando regra do produto + cadeia — dá o mesmo resultado.