Calcule a derivada das funções abaixo.
p(x)=\frac{x^{3}-2 x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
p(x)=\frac{x^{3}-2 x}{x^{2}+1}
A tarefa é calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar p'(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o numerador é x^{3}-2x e o denominador é x^{2}+1. Não há outras condições explicitadas (domínio implícito é todo \mathbb{R} porque x^{2}+1\neq0 para todo x).

Passo 2

Escolha do método: como temos uma função dada por uma razão (numerador dividido por denominador), o método direto e mais básico é usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se
p(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
p'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui identificamos
u(x)=x^{3}-2x,\qquad v(x)=x^{2}+1.
Antes de aplicar a fórmula, vamos calcular u'(x) e v'(x) usando regras básicas: a regra da soma (derivada da soma é soma das derivadas) e a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}), além da constante multiplicativa (derivada de c\cdot f(x) é c\cdot f'(x)).

Passo 3

Calcular u'(x) e v'(x):
Para u(x)=x^{3}-2x:
  • derivada de x^{3} é 3x^{2};
  • derivada de -2x é -2.
    Logo,
u'(x)=3x^{2}-2.
Para v(x)=x^{2}+1:
  • derivada de x^{2} é 2x;
  • derivada de 1 (constante) é 0.
    Logo,
v'(x)=2x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
p'(x)=\frac{(3x^{2}-2)(x^{2}+1)-(x^{3}-2x)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Vamos desenvolver o numerador passo a passo para simplificar.

Passo 5

Expandir o primeiro produto do numerador:
(3x^{2}-2)(x^{2}+1)=3x^{2}\cdot x^{2}+3x^{2}\cdot 1-2\cdot x^{2}-2\cdot 1.
Calculando termo a termo:
3x^{2}\cdot x^{2}=3x^{4},\qquad 3x^{2}\cdot 1=3x^{2},\qquad -2\cdot x^{2}=-2x^{2},\qquad -2\cdot 1=-2.
Somando:
(3x^{2}-2)(x^{2}+1)=3x^{4}+3x^{2}-2x^{2}-2=3x^{4}+x^{2}-2.

Passo 6

Expandir o segundo produto do numerador:
(x^{3}-2x)(2x)=2x\cdot x^{3}-2x\cdot 2x.
Calculando:
2x\cdot x^{3}=2x^{4},\qquad 2x\cdot 2x=4x^{2}.
Portanto
(x^{3}-2x)(2x)=2x^{4}-4x^{2}.

Passo 7

Subtrair o segundo produto do primeiro (conforme a fórmula):
\text{numerador}=(3x^{4}+x^{2}-2)-(2x^{4}-4x^{2}).
Distribuindo o sinal negativo no segundo parêntese:
\text{numerador}=3x^{4}+x^{2}-2-2x^{4}+4x^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
3x^{4}-2x^{4}=x^{4},\qquad x^{2}+4x^{2}=5x^{2},
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\text{numerador}=x^{4}+5x^{2}-2.

Passo 8

Escrevemos a derivada simplificada juntando numerador e denominador:
p'(x)=\frac{x^{4}+5x^{2}-2}{(x^{2}+1)^{2}}.
Este é o resultado final da derivada. Se quiser, dá para checar rapidamente diferenciando usando a forma p(x)=(x^{3}-2x)(x^{2}+1)^{-1} e aplicando regra do produto + cadeia — dá o mesmo resultado.

Resposta

p'(x)=\frac{x^{4}+5x^{2}-2}{(x^{2}+1)^{2}}

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