Use derivada implícita para encontrar \frac{d y}{d x} na equação:
x^{2}+x y+y^{2}=7 .

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
x^{2}+x y+y^{2}=7.
O que se pede é encontrar \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes que temos: a igualdade acima vale para x e y ligados implicitamente (ou seja, y depende de x), e a derivada da constante 7 em relação a x é 0. Não há mais dados numéricos; a resposta será uma expressão em termos de x e y.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Antes de diferenciar termo a termo, lembro duas regras que vamos usar:
Regra do poder (power rule): para uma variável x,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Ex.: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Assim aplicamos termo a termo em x^{2}+x y+y^{2}.
Derivando o primeiro termo x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 3

Agora derivamos o termo x y. Aqui y é função de x, então precisamos da regra do produto:
Regra do produto: se u=u(x) e v=v(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
No nosso caso, tome u=x (então u'=1) e v=y(x) (então v'=\dfrac{dy}{dx}). Aplicando:
\frac{d}{dx}\bigl(xy\bigr)=1\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx}=y + x\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Por fim, derivamos y^{2}. Isso é uma composição: y^{2}=(\text{função }y(x))^{2}çã. Usamos a regra da cadeia:
Regra da cadeia: se g(u)=u^{2} e u=y(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=g'(u)\cdot u' = 2u\cdot\frac{du}{dx} = 2y\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Juntando tudo, a derivada de cada termo somada dá a derivada do lado esquerdo, e a derivada do lado direito 7 é 0. Escrevendo:
2x + \bigl(y + x\frac{dy}{dx}\bigr) + 2y\frac{dy}{dx} = 0.
Agora simplificamos e agrupamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx}:
2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0.
(x+2y)\frac{dy}{dx} + (2x+y)=0.

Passo 6

Isolamos \dfrac{dy}{dx}. Subtraindo (2x+y) e dividindo por (x+2y) (assumindo x+2y\neq 0), obtemos:
\left(x+2y\right)\frac{dy}{dx}=-(2x+y)
\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}

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