Use derivada implícita para encontrar
na equação:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
O que se pede é encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes que temos: a igualdade acima vale para e
ligados implicitamente (ou seja,
depende de
), e a derivada da constante
em relação a
é
. Não há mais dados numéricos; a resposta será uma expressão em termos de
e
.
Informações relevantes que temos: a igualdade acima vale para
Passo 2
Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a
. Antes de diferenciar termo a termo, lembro duas regras que vamos usar:
Regra do poder (power rule): para uma variável
,
Ex.:
.
Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Assim aplicamos termo a termo em
.
Derivando o primeiro termo
:
Passo 3
Agora derivamos o termo
. Aqui
é função de
, então precisamos da regra do produto:
Regra do produto: se
e
, então
No nosso caso, tome
(então
) e
(então
). Aplicando:
Passo 4
Por fim, derivamos
. Isso é uma composição:
. Usamos a regra da cadeia:
Regra da cadeia: se
e
, então
Passo 5
Juntando tudo, a derivada de cada termo somada dá a derivada do lado esquerdo, e a derivada do lado direito
é
. Escrevendo:
Agora simplificamos e agrupamos os termos que contêm
:
Passo 6
Isolamos
. Subtraindo
e dividindo por
(assumindo
), obtemos: