Encontre os pontos críticos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = x^{2} - 32 \sqrt{x} $. Ponto crítico é onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente como calcular e interpretar a derivada de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = x^{2} - 32 \sqrt{x} $. A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto e é essencial para encontrarmos os pontos críticos.
A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a derivada de $ \sqrt{x} $ é $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $. Então, a derivada de $ f(x) $ fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde essa derivada é igual a zero ou não existe, porque esses são os pontos críticos.
Então, colocamos $ f’(x) = 0 $:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ x $.
Primeiro, vamos isolar $ 2x $:
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{x} $ para eliminar o denominador:
Lembre-se que $ x \sqrt{x} = x^{1} \times x^{1/2} = x^{3/2} $. Então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Para resolver $ x^{3/2} = 8 $, vamos elevar ambos os lados à potência de $ \frac{2}{3} $:
Resposta
O ponto crítico da função $ f(x) = x^{2} - 32 \sqrt{x} $ é $ x = 4 $.