Determine uma equação da reta r, e faça um esboço no plano cartesiano, com a propriedade dada em cada caso abaixo: r passa pelo ponto (-1,3) e é paralela à reta de equação 2 y+3 x=1.

Passo 1

No enunciado, queremos a reta r que passa pelo ponto (-1,3) e é paralela à reta dada por 2y+3x=1. É um exercício de reta no plano cartesiano, e vamos precisar identificar o coeficiente angular da reta dada e depois usar a fórmula ponto-declive.

Passo 2

Para encontrar o coeficiente angular, escrevemos a reta dada em forma reduzida. Primeiro isolamos y:
2y+3x=1
2y=-3x+1
y=-32x+12
Logo, o coeficiente angular (declive) da reta dada é m=-tfrac32.
Como retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, concluímos que a reta r também tem mr=-tfrac32.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ponto-declive para a reta r passando pelo ponto (x0,y0)=(-1,3):
y-y0=m(x-x0)
Substituindo, temos
y-3=-tfrac32,(x+1)
Devemos simplificar essa expressão. Expandindo e isolando y:
y-3=-tfrac32x-tfrac32
y=-tfrac32x-tfrac32+3=-tfrac32x+tfrac32
Para a forma geral, multiplicamos ambos os lados por 2:
2y=-3x+3
Ou seja,
3x+2y-3=0

Passo 4

Para esboçar a reta no plano cartesiano, marcamos o ponto dado (-1,3) e um outro ponto fácil, por exemplo o intercepto em y=(0,tfrac32), e traçamos a reta que passa por esses dois pontos, mantendo-a paralela à reta original.

Resposta

A equação da reta r é
3x+2y-3=0
(ou equivalentemente y=-tfrac32x+tfrac32). No esboço, basta marcar os pontos (-1,3) e l(0,tfrac32r) e traçar a reta passando por eles.

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