Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
f(x, y)=x^3-x y+y^3

Passo 1

A questão pede pra gente achar os pontos críticos de f(x,y)=x³–x y+y³ e, em seguida, usar o Teste da Segunda Derivada pra dizer se cada ponto é mínimo, máximo ou sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver ∇f=0 e montar a matriz Hessiana.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais e iguale-as a zero:
fx=3x^2-y, fy=3y^2-x
Isso gera o sistema
3x^2-y=0,3y^2-x=0
Da primeira equação vem y=3x^2. Substituindo na segunda: x=3(3x2)2=27x^4, ou seja x(27x^3−1)=0. Assim x=0 ou x=1/3.
Para x=0 temos y=0, e para x=1/3 temos y=3(1/3)^2=1/3.
Logo os pontos críticos são (0,0) e (1/3,1/3).

Passo 3

Agora monte a Hessiana e calcule o discriminante D:
fxx=6x, fyy=6y, fxy=fyx=-1
O discriminante é
D=fxxfyy-(fxy)^2=36xy-1
Pelo Teste da Segunda Derivada: se D<0 é ponto de sela; se D>0 e f_{xx}>0 é mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 é máximo local.

Passo 4

Avalie em cada ponto:
Para (0,0):
D(0,0)=36·0·0-1=-1<0,
é ponto de sela.
Para (1/3,1/3):
D(1/3,1/3)=36·(1/3)·(1/3)-1=4-1=3>0, fxx(1/3)=6·(1/3)=2>0,
é mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), que é ponto de sela, e (1/3,1/3), que é mínimo local.

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