Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
Passo 1
A questão pede pra gente achar os pontos críticos de f(x,y)=x³–x y+y³ e, em seguida, usar o Teste da Segunda Derivada pra dizer se cada ponto é mínimo, máximo ou sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, resolver ∇f=0 e montar a matriz Hessiana.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais e iguale-as a zero:
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem y=3x^2. Substituindo na segunda: x=3(3x2)2=27x^4, ou seja x(27x^3−1)=0. Assim x=0 ou x=1/3.
Para x=0 temos y=0, e para x=1/3 temos y=3(1/3)^2=1/3.
Logo os pontos críticos são (0,0) e (1/3,1/3).
Para x=0 temos y=0, e para x=1/3 temos y=3(1/3)^2=1/3.
Logo os pontos críticos são (0,0) e (1/3,1/3).
Passo 3
Agora monte a Hessiana e calcule o discriminante D:
O discriminante é
Pelo Teste da Segunda Derivada: se D<0 é ponto de sela; se D>0 e f_{xx}>0 é mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 é máximo local.
Passo 4
Avalie em cada ponto:
Para (0,0):
Para (0,0):
é ponto de sela.
Para (1/3,1/3):
é mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0), que é ponto de sela, e (1/3,1/3), que é mínimo local.