Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
Passo 1
A função dada é f(x, y) = x y + 1/x + 1/y. O conteúdo aqui é encontrar pontos críticos usando derivadas parciais e depois classificar esses pontos pelo Teste da Segunda Derivada, que envolve o cálculo da Hessiana.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Temos
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
lembrando que x≠0 e y≠0. Da primeira equação vem y = 1/x^2 e da segunda x = 1/y^2. Substituindo uma na outra fica y = (1/(1/y2)2) = y^4, de onde y^4 − y = 0 ⇒ y(y^3 − 1) = 0. Como y≠0 tomamos y = 1. Logo x = 1/y^2 = 1. Assim, o único ponto crítico no domínio é (1, 1).
Passo 4
Para usar o Teste da Segunda Derivada, calculamos as segundas derivadas:
Passo 5
No ponto (1,1) isso dá
e
Como D>0 e f_{xx}>0, o ponto (1,1) é um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é (1, 1), e pelo Teste da Segunda Derivada ele é um mínimo local.