Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
f(x, y)=x y+1x+1y

Passo 1

A função dada é f(x, y) = x y + 1/x + 1/y. O conteúdo aqui é encontrar pontos críticos usando derivadas parciais e depois classificar esses pontos pelo Teste da Segunda Derivada, que envolve o cálculo da Hessiana.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Temos
partial fpartial x = y - x^-2, partial fpartial y = x - y^-2

Passo 3

Agora resolvemos o sistema
y - x^-2 = 0, x - y^-2 = 0,
lembrando que x≠0 e y≠0. Da primeira equação vem y = 1/x^2 e da segunda x = 1/y^2. Substituindo uma na outra fica y = (1/(1/y2)2) = y^4, de onde y^4 − y = 0 ⇒ y(y^3 − 1) = 0. Como y≠0 tomamos y = 1. Logo x = 1/y^2 = 1. Assim, o único ponto crítico no domínio é (1, 1).

Passo 4

Para usar o Teste da Segunda Derivada, calculamos as segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2 = 2 x^-3, partial^2 fpartial y^2 = 2 y^-3, partial^2 fpartial xpartial y = 1

Passo 5

No ponto (1,1) isso dá
D = fxx fyy - (fxy)^2 = (2cdot1^-3)(2cdot1^-3) - 1^2 = 4 - 1 = 3 > 0,
e
fxx(1,1) = 2 > 0
Como D>0 e f_{xx}>0, o ponto (1,1) é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (1, 1), e pelo Teste da Segunda Derivada ele é um mínimo local.

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