(1 ponto) Determine o número de zeros de g(z)=6 z^4+z^3-2 z^2+z-1=0 dentro do disco unitário.

Passo 1

O problema pede para encontrar quantos zeros da função g(z)=6z^4+z^3-2z^2+z-1 estão dentro do disco unitário |z|<1. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Rouché, e vamos precisar comparar dois termos de g(z) na circunferência |z|=1.

Passo 2

O Teorema de Rouché diz que se em um contorno fechado C tivermos duas funções analíticas f e h tais que |f(z)|>|h(z)| em todo ponto de C), então f+h e f têm o mesmo número de zeros dentro de C, contando multiplicidades.

Passo 3

Na circunferência |z|=1 escolhemos:
f(z)=6z^4,
h(z)=z^3-2z^2+z-1
Calculamos para |z|=1:
|f(z)|=|6z^4|=6,
|h(z)|<=|z|^3+2|z|^2+|z|+1=1+2+1+1=5
Como 5<6, temos |h(z)|<|f(z)| em toda |z|=1.

Passo 4

Pelo Teorema de Rouché, g(z)=f(z)+h(z) e f(z) têm o mesmo número de zeros em |z|<1. A função f(z)=6z^4 tem 4 zeros (contando multiplicidade) em z=0, então g(z) também tem 4 zeros dentro do disco unitário.

Resposta

4

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