(1 ponto) Determine o número de zeros de
dentro do disco unitário.
Passo 1
O problema pede para encontrar quantos zeros da função
estão dentro do disco unitário
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Rouché, e vamos precisar comparar dois termos de
na circunferência
.
Passo 2
O Teorema de Rouché diz que se em um contorno fechado
tivermos duas funções analíticas
e
tais que
em todo ponto de
, então
e
têm o mesmo número de zeros dentro de
, contando multiplicidades.
Passo 3
Na circunferência
escolhemos:
Calculamos para
:
Como
, temos
em toda
.
Passo 4
Pelo Teorema de Rouché,
e
têm o mesmo número de zeros em
. A função
tem 4 zeros (contando multiplicidade) em
, então
também tem 4 zeros dentro do disco unitário.
Resposta
4