(2 pontos) Se f(z)=z^3 e^4 z, use a Série de Taylor para encontrar a derivada f^(100)(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa achar a 100ª derivada dessa função avaliada em zero, ou seja, . Pra isso, vamos usar a Série de Taylor, que é uma ferramenta bacana para expressar funções como somas infinitas de potências. Vamos precisar entender como expandir a função em série e identificar o termo que corresponde à nossa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a Série de Taylor para e^4z = sumn=0^infty (4z)^nn! = sumn=0^infty 4^n z^nn! . Sabemos que:
f(z) = z^3 e^4z = z^3 sumn=0^infty 4^n z^nn! = sumn=0^infty 4^n z^n+3n!
Agora, vamos multiplicar isso por :

Passo 3

Para facilitar, vamos mudar o índice da soma. Vamos chamar f(z) = summ=3^infty 4^m-3 z^m(m-3)! . Assim, quando , , e a soma fica:

Passo 4

Na Série de Taylor, o coeficiente de f^(m)(0) = m! times coeficiente de z^m é relacionado à f^(100)(0) = 100! times 4^100-3(100-3)! = 100! times 4^9797! -ésima derivada da função avaliada em zero:
No nosso caso, queremos :

Passo 5

Vamos simplificar isso. Sabemos que f^(100)(0) = 100 times 99 times 98 times 4^97 . Então:

Resposta

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