(2 pontos) Se
, use a Série de Taylor para encontrar a derivada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa achar a 100ª derivada dessa função avaliada em zero, ou seja,
. Pra isso, vamos usar a Série de Taylor, que é uma ferramenta bacana para expressar funções como somas infinitas de potências. Vamos precisar entender como expandir a função em série e identificar o termo que corresponde à nossa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a Série de Taylor para
. Sabemos que:
Agora, vamos multiplicar isso por
:
Passo 3
Para facilitar, vamos mudar o índice da soma. Vamos chamar
. Assim, quando
,
, e a soma fica:
Passo 4
Na Série de Taylor, o coeficiente de
é relacionado à
-ésima derivada da função avaliada em zero:
No nosso caso, queremos
:
Passo 5
Vamos simplificar isso. Sabemos que
. Então: