Seja S a superfície do paraboloide z=x^2+y^2 entre os planos z=1 e z=4, com vetor normal apontando para fora do paraboloide.
Seja o campo vetorial F: R^3 R^3 dado por F(x, y, z)=(-y, x, z).
A partir da definição de integral de linha, calcule:
integralpartial S F cdot d r,
onde partial S é o bordo de S, orientado positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui! A gente tem uma superfície S, que é uma parte do paraboloide dado por z = x^2 + y^2, entre os planos z=1 e z=4. Imagina esse paraboloide como uma tigela bem elegante, cortada na parte de baixo em z=1 e na de cima em z=4. A gente quer calcular a integral de linha , onde e é o contorno dessa superfície, que são basicamente os círculos na base e no topo do paraboloide. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com a integral de superfície envolvendo o rotacional de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Esse teorema diz que a integral de linha de um campo vetorial ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS ao longo do contorno de uma superfície é igual à integral de superfície do rotacional de sobre . Matematicamente, fica assim:
Isso é super útil porque muitas vezes é mais fácil calcular a integral de superfície do que a integral de linha diretamente.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) . O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial zpartial y - partial xpartial z, partial (-y)partial z - partial zpartial x, partial xpartial x - partial (-y)partial y ) = (0 - 0, 0 - 0, 1 - (-1)) = (0, 0, 2)
Substituindo :
Então, o rotacional de é o vetor constante .

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a superfície x = r costheta, y = r sintheta, z = r^2 . Como é parte do paraboloide , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Como varia de 1 a 4, vai variar de a , ou seja, de 1 a 2.

Passo 5

Vamos expressar o elemento de área dS = (-partial zpartial x, -partial zpartial y, 1) , dx , dy em coordenadas cilíndricas. Para um paraboloide orientado para fora, o vetor normal dS = (-2x, -2y, 1) , dx , dy pode ser escrito como:
dS = (-2rcostheta, -2rsintheta, 1) cdot r , dr , dtheta
No nosso caso, e , então:
Mas em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS (0, 0, 2) cdot (-2rcostheta, -2rsintheta, 1) , r , dr , dtheta sobre (0)(-2rcostheta) + (0)(-2rsintheta) + (2)(1) = 2 :
integral duplaS 2 cdot r , dr , dtheta
Fazendo o produto escalar:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos agora integrar em coordenadas cilíndricas. Os limites são:
r de 1 a 2 e theta de 0 a 2pi
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral1^2 2r , dr , dtheta

Passo 8

Primeiro, integremos em relação a integral1^2 2r , dr = 2 [ r^22 ]1^2 = 2 ( 42 - 12 ) = 2 ( 2 - 0.5 ) = 2 times 1.5 = 3 :
integral0^2pi 3 , dtheta = 3 times 2pi = 6pi
Agora, integremos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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