Seja
a superfície do paraboloide
entre os planos
e
, com vetor normal apontando para fora do paraboloide.
Seja o campo vetorial
dado por
.
A partir da definição de integral de linha, calcule:
onde
é o bordo de
, orientado positivamente.
Seja o campo vetorial
A partir da definição de integral de linha, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a parada aqui! A gente tem uma superfície
, que é uma parte do paraboloide dado por
, entre os planos
e
. Imagina esse paraboloide como uma tigela bem elegante, cortada na parte de baixo em
e na de cima em
. A gente quer calcular a integral de linha
, onde
e
é o contorno dessa superfície, que são basicamente os círculos na base e no topo do paraboloide. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com a integral de superfície envolvendo o rotacional de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Esse teorema diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo do contorno
de uma superfície
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre
. Matematicamente, fica assim:
Isso é super útil porque muitas vezes é mais fácil calcular a integral de superfície do que a integral de linha diretamente.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional é dado por:
Substituindo
:
Então, o rotacional de
é o vetor constante
.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Como
é parte do paraboloide
, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Como
varia de 1 a 4,
vai variar de
a
, ou seja, de 1 a 2.
Passo 5
Vamos expressar o elemento de área
em coordenadas cilíndricas. Para um paraboloide orientado para fora, o vetor normal
pode ser escrito como:
No nosso caso,
e
, então:
Mas em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de
sobre
:
Fazendo o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos agora integrar em coordenadas cilíndricas. Os limites são:
Então, a integral fica:
Passo 8
Primeiro, integremos em relação a
:
Agora, integremos em relação a
:
Resposta
O valor da integral
é
.