Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
f(x, y)=x ln (x+y)

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=x ln(x+y) e usar o Teste da Segunda Derivada para classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Vamos precisar identificar o domínio da função, calcular as derivadas parciais de primeira ordem, igualá‐las a zero e depois usar a matriz Hessiana para a classificação.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio e as derivadas parciais de primeira ordem. O domínio é dado por x+y>0 (para o ln ser definido). Então:
fx=partialpartial xl(xln(x+y)r)=ln(x+y)+xx+y,
fy=partialpartial yl(xln(x+y)r)=xx+y
Para pontos críticos, resolvemos f_x=0 e f_y=0.

Passo 3

Da segunda equação f_y=0 vem x/(x+y)=0 ⇒ x=0. Substituindo em f_x=0: ln(x+y)=ln(y)=0 ⇒ y=1. Como (0,1) satisfaz x+y>0, concluímos que há um único ponto crítico: (0,1).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para montar a Hessiana:
fxx=1x+y+y(x+y)^2=x+2y(x+y)^2,
fxy=1x+y-x(x+y)^2=y(x+y)^2,
fyy=-x(x+y)^2
No ponto (0,1) temos x+y=1, então f_{xx}=2, f_{xy}=1 e f_{yy}=0.

Passo 5

Para aplicar o Teste da Segunda Derivada, calculamos o determinante da Hessiana:
D=fxxfyy-fxy^2=2cdot0-1^2=-1<0
Como D<0, o ponto (0,1) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,1), e pelo Teste da Segunda Derivada ele é ponto de sela.

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