Seja S a superfície do paraboloide z=x^2+y^2 entre os planos z=1 e z=4, com vetor normal apontando para fora do paraboloide.
Seja o campo vetorial F: R^3 R^3 dado por F(x, y, z)=(-y, x, z).
A partir da definição de integral de superfície de campo vetorial, calcule:
integral duplaS(rot F cdot n) d S

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre a superfície do paraboloide entre os planos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como rotacional, integral de superfície e parametrização de superfícies. Precisaremos entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e como configurar a integral de superfície usando parametrização adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z - y & x & z ou , mede a tendência de rotação do campo em cada ponto. Para calcular o rotacional de , usamos a fórmula do determinante:

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
nabla times F = i ( partial zpartial y - partial xpartial z ) - j ( partial zpartial x - partial (-y)partial z ) + k ( partial xpartial x - partial (-y)partial y )
Calculando cada termo:
partial zpartial y = 0, partial xpartial z = 0, partial zpartial x = 0, partial (-y)partial z = 0, partial xpartial x = 1, partial (-y)partial y = -1
Substituindo:
nabla times F = i (0 - 0) - j (0 - 0) + k (1 - (-1)) = 0i - 0j + 2k = (0, 0, 2)

Passo 4

Agora que temos o rotacional integral duplaS (nabla times F cdot n) , dS , precisamos calcular a integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície . Para encontrar , vamos parametrizar a superfície do paraboloide.

Passo 5

Vamos parametrizar o paraboloide x = r cos theta, y = r sin theta, z = r^2 usando coordenadas polares, já que a superfície tem simetria circular. Definimos:
1 <= r^2 <= 4 Rightarrow 1 <= r <= 2
Os limites para são de 1 a 4, então:

Passo 6

Calculamos os vetores tangentes à superfície usando as derivadas parciais em relação a partial rpartial r = (cos theta, sin theta, 2r) e partial rpartial theta = (-r sin theta, r cos theta, 0) :
n = partial rpartial r times partial rpartial theta = i & j & k cos theta & sin theta & 2r - r sin theta & r cos theta & 0
n = i( sin theta cdot 0 - 2r cdot r cos theta ) - j( cos theta cdot 0 - 2r cdot (-r sin theta) ) + k( cos theta cdot r cos theta - sin theta cdot (- r sin theta) )
O vetor normal n = i( -2r^2 cos theta ) - j( 2r^2 sin theta ) + k( r cos^2 theta + r sin^2 theta ) é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
n = (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r (cos^2 theta + sin^2 theta) )
Calculando o determinante:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1 Rightarrow n = (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r)

Passo 7

Agora, normalizamos para obter o vetor normal unitário. Contudo, para a integral de superfície, não precisamos necessariamente do vetor unitário, pois o elemento de área já leva em conta a magnitude. Portanto, podemos usar diretamente .

Passo 8

Voltando à integral:
integral duplaS (nabla times F cdot n) , dS = integral duplaS (0, 0, 2) cdot (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r) , dS
Calculando o produto escalar:
(0)(-2r^2 cos theta) + (0)(-2r^2 sin theta) + (2)(r) = 2r
Então, a integral simplifica para:
integral duplaS 2r , dS

Passo 9

Agora, precisamos expressar |n| = raiz(-2r^2 cos theta)^2 + (-2r^2 sin theta)^2 + r^2 = raiz4r^4 cos^2 theta + 4r^4 sin^2 theta + r^2 = raiz4r^4 (cos^2 theta + sin^2 theta) + r^2 = raiz4r^4 + r^2 = r raiz4r^2 + 1 em termos de dS = r raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta e . A área de superfície em coordenadas paramétricas é dada pelo módulo do produto vetorial dos vetores tangentes multiplicado por . Já calculamos o vetor normal , e seu módulo é:
Portanto:

Passo 10

Substituindo integral duplaS 2r cdot r raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta = 2 integral duplaD r^2 raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta na integral:
Onde é a região de de 1 a 2 e de 0 a .

Passo 11

Integramos primeiro em 2 integral0^2pi dtheta integral1^2 r^2 raiz4r^2 + 1 , dr :
2 cdot 2pi integral1^2 r^2 raiz4r^2 + 1 , dr = 4pi integral1^2 r^2 raiz4r^2 + 1 , dr
A integral em é simples:

Passo 12

Agora, resolvemos a integral:
integral r^2 raiz4r^2 + 1 , dr
Fazemos uma substituição: r^2 = u - 14 , então integral r^2 raizu cdot du8 = 18 integral u - 14 raizu , du = 132 integral (u^3/2 - u^1/2) , du , ou seja, 132 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C = 180 u^5/2 - 148 u^3/2 + C . Porém, precisamos ajustar a expressão:
180 (4r^2 + 1)^5/2 - 148 (4r^2 + 1)^3/2 + C
Então:
Integrando:
Substituindo :

Passo 13

Voltando à integral original:
4pi [ 180 (4r^2 + 1)^5/2 - 148 (4r^2 + 1)^3/2 ]r=1^r=2
Calculando nos limites:
Para 4(2)^2 + 1 = 16 + 1 = 17 :
180 (17)^5/2 - 148 (17)^3/2
4(1)^2 + 1 = 4 + 1 = 5
Para 180 (5)^5/2 - 148 (5)^3/2 :

Passo 14

Subtraindo os valores:
4pi [ ( 180 17^5/2 - 148 17^3/2 ) - ( 180 5^5/2 - 148 5^3/2 ) ]
Simplificando numericamente:
17^1/2 = raiz17, 17^3/2 = 17 raiz17, 17^5/2 = 17^2 raiz17 = 289 raiz17
5^1/2 = raiz5, 5^3/2 = 5 raiz5, 5^5/2 = 25 raiz5
Substituindo:
4pi [ ( 289 raiz1780 - 17 raiz1748 ) - ( 25 raiz580 - 5 raiz548 ) ]

Passo 15

Simplificando frações:
28980 - 1748 = 289 cdot 3 - 17 cdot 5240 = 867 - 85240 = 782240 = 391120
2580 - 548 = 25 cdot 3 - 5 cdot 5240 = 75 - 25240 = 50240 = 524
Então:
4pi ( 391120 raiz17 - 524 raiz5 )

Resposta

Após simplificar, a integral de superfície é igual a:
4pi ( 391120 raiz17 - 524 raiz5 )

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