Seja a superfície do paraboloide entre os planos e , com vetor normal apontando para fora do paraboloide.
Seja o campo vetorial dado por .
A partir da definição de integral de superfície de campo vetorial, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre a superfície do paraboloide entre os planos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como rotacional, integral de superfície e parametrização de superfícies. Precisaremos entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e como configurar a integral de superfície usando parametrização adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência de rotação do campo em cada ponto. Para calcular o rotacional de , usamos a fórmula do determinante:
Passo 3
Vamos calcular o determinante:
nabla times F = i ( partial zpartial y - partial xpartial z ) - j ( partial zpartial x - partial (-y)partial z ) + k ( partial xpartial x - partial (-y)partial y )
Calculando cada termo:
partial zpartial y = 0, partial xpartial z = 0, partial zpartial x = 0, partial (-y)partial z = 0, partial xpartial x = 1, partial (-y)partial y = -1
Substituindo:
nabla times F = i (0 - 0) - j (0 - 0) + k (1 - (-1)) = 0i - 0j + 2k = (0, 0, 2)
Passo 4
Agora que temos o rotacional integral duplaS (nabla times F cdot n) , dS , precisamos calcular a integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície . Para encontrar , vamos parametrizar a superfície do paraboloide.
Passo 5
Vamos parametrizar o paraboloide x = r cos theta, y = r sin theta, z = r^2 usando coordenadas polares, já que a superfície tem simetria circular. Definimos:
1 <= r^2 <= 4 Rightarrow 1 <= r <= 2
Os limites para são de 1 a 4, então:
Passo 6
Calculamos os vetores tangentes à superfície usando as derivadas parciais em relação a partial rpartial r = (cos theta, sin theta, 2r) e partial rpartial theta = (-r sin theta, r cos theta, 0) :
n = partial rpartial r times partial rpartial theta = i & j & k cos theta & sin theta & 2r - r sin theta & r cos theta & 0
n = i( sin theta cdot 0 - 2r cdot r cos theta ) - j( cos theta cdot 0 - 2r cdot (-r sin theta) ) + k( cos theta cdot r cos theta - sin theta cdot (- r sin theta) )
O vetor normal n = i( -2r^2 cos theta ) - j( 2r^2 sin theta ) + k( r cos^2 theta + r sin^2 theta ) é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
n = (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r (cos^2 theta + sin^2 theta) )
Calculando o determinante:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1 Rightarrow n = (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r)
Passo 7
Agora, normalizamos para obter o vetor normal unitário. Contudo, para a integral de superfície, não precisamos necessariamente do vetor unitário, pois o elemento de área já leva em conta a magnitude. Portanto, podemos usar diretamente .
Passo 8
Voltando à integral:
integral duplaS (nabla times F cdot n) , dS = integral duplaS (0, 0, 2) cdot (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r) , dS
Calculando o produto escalar:
(0)(-2r^2 cos theta) + (0)(-2r^2 sin theta) + (2)(r) = 2r
Então, a integral simplifica para:
integral duplaS 2r , dS
Passo 9
Agora, precisamos expressar |n| = raiz(-2r^2 cos theta)^2 + (-2r^2 sin theta)^2 + r^2 = raiz4r^4 cos^2 theta + 4r^4 sin^2 theta + r^2 = raiz4r^4 (cos^2 theta + sin^2 theta) + r^2 = raiz4r^4 + r^2 = r raiz4r^2 + 1 em termos de dS = r raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta e . A área de superfície em coordenadas paramétricas é dada pelo módulo do produto vetorial dos vetores tangentes multiplicado por . Já calculamos o vetor normal , e seu módulo é:
Portanto:
Passo 10
Substituindo integral duplaS 2r cdot r raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta = 2 integral duplaD r^2 raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta na integral:
Onde é a região de de 1 a 2 e de 0 a .
Passo 11
Integramos primeiro em 2 integral0^2pi dtheta integral1^2 r^2 raiz4r^2 + 1 , dr :
2 cdot 2pi integral1^2 r^2 raiz4r^2 + 1 , dr = 4pi integral1^2 r^2 raiz4r^2 + 1 , dr
A integral em é simples:
Passo 12
Agora, resolvemos a integral:
integral r^2 raiz4r^2 + 1 , dr
Fazemos uma substituição: r^2 = u - 14 , então integral r^2 raizu cdot du8 = 18 integral u - 14 raizu , du = 132 integral (u^3/2 - u^1/2) , du , ou seja, 132 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C = 180 u^5/2 - 148 u^3/2 + C . Porém, precisamos ajustar a expressão: