Mostre que a caixa retangular (incluindo a parte superior e inferior) com volume fixo
e a menor área de superfície possível é um cubo.
Passo 1
Então, a gente tem uma caixa retangular que inclui o topo e a base, e o volume dela é fixo:
. A missão aqui é mostrar que, para essa caixa ter a menor área de superfície possível, ela precisa ser um cubo. Vamos usar um pouco de matemática, especificamente cálculo, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de uma caixa retangular é dado por:
Como o volume é fixo em 27 m³, podemos escrever:
Passo 3
Agora, a área de superfície de uma caixa retangular é a soma das áreas de todas as suas faces. Para uma caixa com comprimento
, largura
e altura
, a área de superfície
é:
Queremos minimizar essa área de superfície.
Passo 4
Para encontrar o mínimo de
, precisamos usar o conceito de derivadas. Mas, como temos uma condição fixa para o volume, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras usando a equação do volume. Vamos resolver para
:
Passo 5
Substituindo
na equação da ��rea de superfície:
Simplificando:
Passo 6
Para minimizar
, vamos derivar em relação a
e
e igualar a zero. Mas, para simplificar, vamos assumir que a caixa é um cubo, onde
. Então:
Resolvendo:
Passo 7
Com
, a área de superfície é:
Isso confirma que a menor área de superfície ocorre quando a caixa é um cubo.
Resposta
A caixa com volume fixo de
que possui a menor área de superfície é, de fato, um cubo com lados medindo
.