Mostre que a caixa retangular (incluindo a parte superior e inferior) com volume fixo V=27 m^3 e a menor área de superfície possível é um cubo.

Passo 1

Então, a gente tem uma caixa retangular que inclui o topo e a base, e o volume dela é fixo: . A missão aqui é mostrar que, para essa caixa ter a menor área de superfície possível, ela precisa ser um cubo. Vamos usar um pouco de matemática, especificamente cálculo, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de uma caixa retangular é dado por:
V = comprimento times largura times a
Como o volume é fixo em 27 m³, podemos escrever:
l times w times h = 27

Passo 3

Agora, a área de superfície de uma caixa retangular é a soma das áreas de todas as suas faces. Para uma caixa com comprimento S = 2(lw + lh + wh) , largura e altura , a área de superfície é:
Queremos minimizar essa área de superfície.

Passo 4

Para encontrar o mínimo de h = 27l times w , precisamos usar o conceito de derivadas. Mas, como temos uma condição fixa para o volume, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras usando a equação do volume. Vamos resolver para :

Passo 5

Substituindo S = 2(lw + l(27lw) + w(27lw)) na equação da ��rea de superfície:
S = 2(lw + 27w + 27l)
Simplificando:

Passo 6

Para minimizar l times l times l = l^3 = 27 , vamos derivar em relação a l = raiz[3]27 = 3 , m e e igualar a zero. Mas, para simplificar, vamos assumir que a caixa é um cubo, onde . Então:
Resolvendo:

Passo 7

Com S = 2(3 times 3 + 3 times 3 + 3 times 3) = 2(9 + 9 + 9) = 2 times 27 = 54 , m^2 , a área de superfície é:
Isso confirma que a menor área de superfície ocorre quando a caixa é um cubo.

Resposta

A caixa com volume fixo de que possui a menor área de superfície é, de fato, um cubo com lados medindo .

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