Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-x y+x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos críticos da função \displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-x y+x e (2) usar o Teste da Segunda Derivada para decidir se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local, ponto de sela ou se o teste falha.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x,y). Não há restrições no domínio, portanto o domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que é um ponto crítico?
Um ponto (x,y) é crítico quando o gradiente de f é o vetor nulo ou quando as derivadas parciais não existem. Aqui f é polinomial, então as derivadas existem em todo lugar; logo procuramos os pontos onde o gradiente é zero.
Definição do gradiente: o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Para pontos críticos resolvemos
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de f. As derivadas parciais são obtidas diferenciando f em relação a uma variável tratando a outra como constante.
\frac{\partial f}{\partial x}=2x - y + 1
\frac{\partial f}{\partial y}=2y - x

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} 2x - y + 1 = 0,\\[4pt] 2y - x = 0. \end{cases}
Da segunda equação isolamos x:
2y - x = 0 \implies x = 2y.
Substituímos x=2y na primeira equação:
2(2y) - y + 1 = 0 \implies 4y - y + 1 = 0 \implies 3y + 1 = 0.
Logo
y = -\frac{1}{3}.
E então
x = 2y = 2\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3}.]

Passo 5

Concluímos que há um único ponto crítico:
\left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right).

Passo 6

Agora o Teste da Segunda Derivada (caso de duas variáveis). Precisamos das segundas derivadas parciais e do discriminante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
Regra de interpretação:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local.
  • Se D<0 então há ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 7

Calcule as segundas derivadas de f. Derivando novamente as parciais:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - y + 1) = 2,
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2y - x) = 2,
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x - y + 1) = -1.

Passo 8

Avalie o discriminante no ponto crítico (as segundas derivadas aqui são constantes, então valem em todo lugar):
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = 2\cdot 2 - (-1)^{2} = 4 - 1 = 3.
Como D=3>0 e f_{xx}=2>0, pelo teste da segunda derivada o ponto crítico é um mínimo local.

Passo 9

Para informar também o valor da função no ponto (útil na prova), calculamos f em \left(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\right):
f\!\left(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\right)=\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}-\left(-\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{3}\right)+\left(-\tfrac{2}{3}\right).
Calcule passo a passo:
\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9},\quad \left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}=\tfrac{1}{9},\quad -\left(-\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{3}\right)=-\tfrac{2}{9},\quad -\tfrac{2}{3}=-\tfrac{2}{3}.
Somando:
\tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9}-\tfrac{2}{9}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{3}{9}-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{1}{3}.
Portanto o valor de f no ponto crítico é -\tfrac{1}{3}.

Resposta

Ponto crítico: \left(-\tfrac{2}{3}, -\tfrac{1}{3}\right) — mínimo local, com f\left(-\tfrac{2}{3}, -\tfrac{1}{3}\right)=-\tfrac{1}{3}.

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