Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos críticos da função
e (2) usar o Teste da Segunda Derivada para decidir se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local, ponto de sela ou se o teste falha.
Informações dadas: a expressão explícita de . Não há restrições no domínio, portanto o domínio é todo o plano
.
Informações dadas: a expressão explícita de
Passo 2
O que é um ponto crítico?
Um ponto é crítico quando o gradiente de
é o vetor nulo ou quando as derivadas parciais não existem. Aqui
é polinomial, então as derivadas existem em todo lugar; logo procuramos os pontos onde o gradiente é zero.
Definição do gradiente: o gradiente de é o vetor das derivadas parciais
Um ponto
Definição do gradiente: o gradiente de
Para pontos críticos resolvemos
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
. As derivadas parciais são obtidas diferenciando
em relação a uma variável tratando a outra como constante.
Passo 4
Agora resolvemos o sistema
Da segunda equação isolamos
:
Substituímos
na primeira equação:
Logo
E então
Passo 5
Concluímos que há um único ponto crítico:
Passo 6
Agora o Teste da Segunda Derivada (caso de duas variáveis). Precisamos das segundas derivadas parciais e do discriminante
Regra de interpretação:
- Se
e então há mínimo local. - Se
e então há máximo local. - Se
então há ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 7
Calcule as segundas derivadas de
. Derivando novamente as parciais:
Passo 8
Avalie o discriminante no ponto crítico (as segundas derivadas aqui são constantes, então valem em todo lugar):
Como
e
, pelo teste da segunda derivada o ponto crítico é um mínimo local.
Passo 9
Para informar também o valor da função no ponto (útil na prova), calculamos
em
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Portanto o valor de
no ponto crítico é
.
Resposta
Ponto crítico:
— mínimo local, com
.