Utilizando o limite fundamental do \frac{\operatorname{sen} x}{x}, calcule.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{2}}{\operatorname{tg} x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{3x^{2}}{\operatorname{tg} x\,\operatorname{sen} x}.\n
Informações dadas e observações importantes:
  • A variável é x e o limite é quando x\to 0.
  • Estão presentes as funções trigonométricas \operatorname{sen} x e \operatorname{tg} x.
  • Vamos trabalhar com x em radianos (isso é essencial: os limites fundamentais trigonométricos valem em radianos).
  • Nenhuma outra informação do enunciado falta — só temos que avaliar esse limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Reescrever a expressão usando a identidade \displaystyle \operatorname{tg} x=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}. Então
\frac{3x^{2}}{\operatorname{tg} x\,\operatorname{sen} x} = \frac{3x^{2}}{\left(\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right)\operatorname{sen} x} = \frac{3x^{2}}{\dfrac{\operatorname{sen}^{2}x}{\cos x}} = 3x^{2}\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}.

Passo 3

Organizar a expressão para usar o limite fundamental \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1. Escrevendo de forma conveniente:
3x^{2}\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x} = 3\cos x\cdot\left(\frac{x}{\operatorname{sen} x}\right)^{2}.
Aqui separamos um fator \cos x e o quadrado da razão \dfrac{x}{\operatorname{sen} x}.

Passo 4

Lembrar (ou aprender) duas coisas sobre limites que vamos usar:
  • O limite fundamental: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1. Isso significa que quando x é muito pequeno, \operatorname{sen} x se aproxima de x (em radianos).
  • Pela continuidade de \cos x, \displaystyle \lim_{x\to 0}\cos x=1.
    Do limite fundamental segue também que \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen} x}=1.

Passo 5

Aplicar propriedades de limite (produto e potência): se os limites separados existem, o limite do produto é o produto dos limites e o limite de uma potência é a potência do limite. Assim,
\lim_{x\to 0} 3\cos x\left(\frac{x}{\operatorname{sen} x}\right)^{2} = 3\cdot\left(\lim_{x\to 0}\cos x\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen} x}\right)^{2}.

Passo 6

Substituir os valores dos limites conhecidos:
\lim_{x\to 0}\cos x = 1,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen} x}=1.
Portanto
3\cdot 1\cdot 1^{2}=3.

Resposta

3

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