Utilizando o limite fundamental do
, calcule.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.\n
Informações dadas e observações importantes:
Informações dadas e observações importantes:
- A variável é
e o limite é quando . - Estão presentes as funções trigonométricas
e . - Vamos trabalhar com
em radianos (isso é essencial: os limites fundamentais trigonométricos valem em radianos). - Nenhuma outra informação do enunciado falta — só temos que avaliar esse limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Reescrever a expressão usando a identidade
. Então
Passo 3
Organizar a expressão para usar o limite fundamental
. Escrevendo de forma conveniente:
Aqui separamos um fator
e o quadrado da razão
.
Passo 4
Lembrar (ou aprender) duas coisas sobre limites que vamos usar:
- O limite fundamental:
. Isso significa que quando é muito pequeno, se aproxima de (em radianos). - Pela continuidade de
, .
Do limite fundamental segue também que.
Passo 5
Aplicar propriedades de limite (produto e potência): se os limites separados existem, o limite do produto é o produto dos limites e o limite de uma potência é a potência do limite. Assim,
Passo 6
Substituir os valores dos limites conhecidos:
Portanto