Encontre os pontos críticos das funções abaixo e, usando o teste conveniente(Teste da Primeira ou da Segunda derivada), classifique-os com ponto de Máximo local, Mínimo local ou nenhun dos dois.
Passo 1
Estamos com a função f(x)=x²eˣ e queremos encontrar seus pontos críticos (onde f′(x)=0 ou f′ não existe) e depois classificar cada um usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, calculamos a primeira derivada aplicando a regra do produto em f(x)=x²·eˣ. Temos:
Passo 3
Em seguida, achamos os pontos críticos resolvendo f’(x)=0. Como eˣ>0 para todo x, basta zerar o fator polinomial:
Logo, os candidatos são x=0 e x=−2.
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada para classificar esses pontos. Diferenciando f’(x)=ex(x2+2x) por produto:
Passo 5
Por fim, avaliamos f’’ nos pontos críticos:
Para x=0:
então há mínimo local em x=0.
Para x=−2:
então há máximo local em x=−2.
Resposta
Os pontos críticos são x=−2 (máximo local) e x=0 (mínimo local).