Encontre os pontos críticos das funções abaixo e, usando o teste conveniente(Teste da Primeira ou da Segunda derivada), classifique-os com ponto de Máximo local, Mínimo local ou nenhun dos dois.
f(x)=x^2 e^x

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x²eˣ e queremos encontrar seus pontos críticos (onde f′(x)=0 ou f′ não existe) e depois classificar cada um usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira derivada aplicando a regra do produto em f(x)=x²·eˣ. Temos:
f'(x)=ddx(x^2),e^x + x^2,ddx(e^x)=2x e^x + x^2 e^x=e^x(x^2+2x)

Passo 3

Em seguida, achamos os pontos críticos resolvendo f’(x)=0. Como eˣ>0 para todo x, basta zerar o fator polinomial:
x^2+2x=x(x+2)=0
Logo, os candidatos são x=0 e x=−2.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada para classificar esses pontos. Diferenciando f’(x)=ex(x2+2x) por produto:
f''(x)=e^x(x^2+2x)+e^x(2x+2)=e^x(x^2+4x+2)

Passo 5

Por fim, avaliamos f’’ nos pontos críticos:
Para x=0: f''(0)=e^0(0+0+2)=2>0, então há mínimo local em x=0.
Para x=−2: f''(-2)=e^-2(4−8+2)=e^-2(−2)<0, então há máximo local em x=−2.

Resposta

Os pontos críticos são x=−2 (máximo local) e x=0 (mínimo local).

Exercícios relacionados