A região do 1º quadrante delimitada pelos eixos coordenados e pela reta y=4-x é girada em torno do eixo x. Determine o volume do sólido resultante.
64 pi
128 pi
32 pi / 3
64 pi / 3
128 pi / 3

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma região triangular no 1º quadrante, limitada pelos eixos x e y e pela reta y = 4 – x, que é girada em torno do eixo x. O conteúdo aqui é volume de revolução e vamos usar o método dos discos para resolver.

Passo 2

Para aplicar o método, primeiro achamos onde a reta intercepta os eixos. Em x = 0, y = 4; em y = 0, x = 4. Logo, a região varia de x = 0 até x = 4.

Passo 3

No método dos discos, cada fatia fina perpendicular ao eixo x vira um disco de raio igual à altura da região (y) e espessura dx. Aqui o raio é y = 4 – x, então o volume de um disco é dV = π·(4 – x)² dx. Assim o volume total é
V = pi integral0^4 (4 - x)^2 ,dx

Passo 4

Basta calcular a integral: expandindo (4 - x)² = 16 - 8x + x² e integrando de 0 a 4,
integral0^4(16 - 8x + x^2),dx = l[16x - 4x^2 + tfracx^33r]0^4 = 64 - 64 + tfrac643 = tfrac643
Multiplicando por π, temos V = 64π/3.

Resposta

tfrac64pi3

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