A região do 1º quadrante delimitada pelos eixos coordenados e pela reta
é girada em torno do eixo
. Determine o volume do sólido resultante.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem uma região triangular no 1º quadrante, limitada pelos eixos x e y e pela reta y = 4 – x, que é girada em torno do eixo x. O conteúdo aqui é volume de revolução e vamos usar o método dos discos para resolver.
Passo 2
Para aplicar o método, primeiro achamos onde a reta intercepta os eixos. Em x = 0, y = 4; em y = 0, x = 4. Logo, a região varia de x = 0 até x = 4.
Passo 3
No método dos discos, cada fatia fina perpendicular ao eixo x vira um disco de raio igual à altura da região (y) e espessura dx. Aqui o raio é y = 4 – x, então o volume de um disco é dV = π·(4 – x)² dx. Assim o volume total é
Passo 4
Basta calcular a integral: expandindo (4 - x)² = 16 - 8x + x² e integrando de 0 a 4,
Multiplicando por π, temos V = 64π/3.