Seja f(x)=integral0^x(1-t^2) e^t^2 d t
Encontre e classifique os pontos críticos de f.

Passo 1

A questão dá a função f(x)=integral0^x(1 - t^2)e^t^2,dt. O conteúdo principal é derivar integrais definidas pelo Teorema Fundamental do Cálculo e classificar extremos usando derivadas.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de f é exatamente o integrando avaliado em x:
f'(x) = (1 - x^2)e^x^2

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0. Como e^x^2>0 para todo x, basta resolver:
1 - x^2 = 0 Longrightarrow x = pm1

Passo 4

Para classificar, podemos usar a segunda derivada. Derivando f'(x):
f''(x) = ddxl[(1 - x^2)e^x^2r] = [-2x + 2x(1 - x^2)],e^x^2 = -2x^3 e^x^2
Avaliações:
  • Em x=1: f''(1) = -2cdot1^3 e^1 = -2e < 0 → máximo local.
  • Em x=-1: f''(-1) = -2(-1)^3 e^1 = 2e > 0 → mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são x = -1 (mínimo local) e x = 1 (máximo local).

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