Encontre os pontos críticos nas funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que sejam encontrados os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - A função envolve
, portanto o domínio natural da função é . - O que se pede: determinar os pontos críticos (valores de
onde a derivada é zero ou não existe) e, se for possível, caracterizá-los (mínimo, máximo ou ponto de inflexão).
Passo 2
O que é um ponto crítico? Vou explicar com calma: um número
do domínio é chamado de ponto crítico se a derivada da função em
for zero ou se a derivada não existir em
. Em palavras mais simples: pontos críticos são onde a inclinação fica horizontal (
) ou onde a inclinação não está definida.
Antes de calcular, confirmei o domínio: como
aparece, o domínio é
. Só podemos procurar pontos críticos dentro desse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
. A função é produto de duas funções
e
. Relembrando a regra do produto (aquela que sempre cai bem nas provas): se
então
Aqui,
e
. As derivadas são:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando
, obtemos
Podemos escrever de forma mais compacta:
Passo 4
Agora procuramos onde
ou onde
não existe (lembrando que só consideramos
). A expressão
está bem definida para todo
, então não há pontos onde a derivada não existe dentro do domínio. Resta resolver
Dividindo por
(que é diferente de zero),
Isolando
,
Aplicando exponencial nas duas partes (ou lembrando que
é a solução),
Portanto o único valor de
no domínio que anula a derivada é
.
Passo 5
Em muitas questões é pedido o ponto no gráfico (ou seja, a coordenada
). Vamos calcular
correspondente a
. Substituindo na função:
Sabendo que
, obtemos
Logo o ponto no gráfico é
.
Passo 6
Vamos classificar o ponto crítico usando o teste da segunda derivada (fácil aqui). Primeiro calculamos
. Como
, derivando:
Agora avaliamos em
:
Como
, a segunda derivada é positiva nesse ponto, o que indica que a curva é côncava para cima ali e, portanto, o ponto crítico é um mínimo local.
Breve interpretação intuitiva:
significa que a função está “fazendo uma tigela” ali, então é um mínimo;
seria “fazendo um teto” (máximo).
Passo 7
Resumo do que encontramos e um empurrão para o exame: há um único ponto crítico no domínio
, localizado em
. O ponto no gráfico é
e, pelo teste da segunda derivada, é um mínimo local.