Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
f(x, y)=\frac{1}{2} x^{4}-2 x^{3}+4 x y+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função
f(x,y)=\frac{1}{2}x^{4}-2x^{3}+4xy+y^{2}
e que eu classifique cada um desses pontos como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações dadas:
f(x,y)=\frac{1}{2}x^{4}-2x^{3}+4xy+y^{2}
Domínio implícito: \mathbb{R}^{2}.
O que é pedido:
  • Determinar todos os pontos (x,y) onde a função tem derivadas parciais nulas (pontos críticos).
  • Classificar cada ponto crítico entre máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.

Passo 2

O que significa “ponto crítico” (explicação didática): um ponto (x,y) é crítico quando as derivadas parciais de f em relação a x e a y são ambas iguais a zero. Na prática eu vou calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} e resolver o sistema formado por essas duas igualdades.
Cálculo das derivadas parciais (mostrando como faço cada termo, passo a passo):
Ao derivar em relação a x, trato y como constante. Uso a regra do poder: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}.
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{2}x^{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot 4 x^{3}=2x^{3}
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(-2x^{3}\right)=-2\cdot 3 x^{2}=-6x^{2}
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(4xy\right)=4y \quad\text{(porque \(y\) é tratado como constante)}é
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(y^{2}\right)=0
Somando:
f_{x}(x,y)=2x^{3}-6x^{2}+4y.
Agora derivando em relação a y, trato x como constante:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{2}x^{4}\right)=0
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(-2x^{3}\right)=0
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(4xy\right)=4x
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y^{2}\right)=2y
Somando:
f_{y}(x,y)=4x+2y.

Passo 3

Agora resolvo o sistema [,f_{x}(x,y)=0,; f_{y}(x,y)=0).
Escrevo o sistema:
\begin{cases} 2x^{3}-6x^{2}+4y=0,\\[4pt] 4x+2y=0. \end{cases}
Da segunda equação isolo (y]:
4x+2y=0 \implies 2y=-4x \implies y=-2x.
Substituo y=-2x na primeira equação:
2x^{3}-6x^{2}+4(-2x)=0.
Calculo o termo final:
4(-2x)=-8x,
então
2x^{3}-6x^{2}-8x=0.
Coloco em evidência 2x:
2x\bigl(x^{2}-3x-4\bigr)=0.
Fatoro o binômio quadrático:
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Assim as soluções para x são:
x=0,\quad x=4,\quad x=-1.
Correspondentes y=-2x dão:
x=0 \Rightarrow y=0;
x=4 \Rightarrow y=-8;
x=-1 \Rightarrow y=2.
Portanto os pontos críticos são
(0,0),\quad (4,-8),\quad (-1,2).]

Passo 4

Agora preciso classificar cada ponto. Vou usar o teste das segundas derivadas (explico o que é e como usar).
O teste das segundas derivadas usa as segundas derivadas parciais:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
Defino o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto (x,y):
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
Regras de classificação:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto, então é mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 no ponto, então é máximo relativo.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas da função (mostrando como obtenho cada uma):
A partir de f_{x}=2x^{3}-6x^{2}+4y:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(2x^{3}-6x^{2}+4y\right)=6x^{2}-12x.
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(2x^{3}-6x^{2}+4y\right)=4.
A partir de f_{y}=4x+2y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(4x+2y\right)=2.
Observação: f_{xy}=f_{yx}=4 (a função é C^{2}, então as derivadas mistas coincidem).

Passo 5

Avalio f_{xx} e D em cada ponto crítico e uso as regras.
  1. No ponto (0,0) (aqui x=0):
f_{xx}(0,0)=6\cdot 0^{2}-12\cdot 0=0.
D(0,0)=f_{xx}(0,0)\,f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}=0\cdot 2-4^{2}= -16.
Como D(0,0)=-16<0, concluo que (0,0) é um ponto de sela.
  1. No ponto (4,-8) (aqui x=4):
f_{xx}(4,-8)=6\cdot 4^{2}-12\cdot 4=6\cdot 16-48=96-48=48.
D(4,-8)=48\cdot 2-4^{2}=96-16=80>0.
Como D>0 e f_{xx}=48>0, (4,-8) é um mínimo relativo.
  1. No ponto (-1,2) (aqui x=-1):
f_{xx}(-1,2)=6\cdot (-1)^{2}-12\cdot (-1)=6+12=18.
D(-1,2)=18\cdot 2-4^{2}=36-16=20>0.
Como D>0 e f_{xx}=18>0, (-1,2) é um mínimo relativo.
Se quiser uma confirmação numérica opcional (só para intuição): os valores da função nesses pontos são
f(0,0)=0,\quad f(4,-8)=-64,\quad f(-1,2)=-\tfrac{3}{2},
o que mostra que em (4,-8) e (-1,2) a função assume valores menores que em vizinhanças (coerente com mínimos relativos) e em (0,0) a vizinhança tem sinais mistos (coerente com sela).

Passo 6

Resumo final do que encontrei:
  • Pontos críticos: (0,0),\\ (4,-8),\\ (-1,2).
  • Classificações: (0,0) ponto de sela; (4,-8) mínimo relativo; (-1,2) mínimo relativo.

Resposta

(0,0): ponto de sela.
(4,-8): mínimo relativo.
(-1,2): mínimo relativo.

Exercícios relacionados