Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função
e que eu classifique cada um desses pontos como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações dadas:
Domínio implícito:
.
O que é pedido:
- Determinar todos os pontos
onde a função tem derivadas parciais nulas (pontos críticos). - Classificar cada ponto crítico entre máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 2
O que significa “ponto crítico” (explicação didática): um ponto
é crítico quando as derivadas parciais de
em relação a
e a
são ambas iguais a zero. Na prática eu vou calcular
e
e resolver o sistema formado por essas duas igualdades.
Cálculo das derivadas parciais (mostrando como faço cada termo, passo a passo):
Ao derivar em relação a
, trato
como constante. Uso a regra do poder: se
então
.
Derivando termo a termo:
Somando:
Agora derivando em relação a
, trato
como constante:
Somando:
Passo 3
Agora resolvo o sistema [,f_{x}(x,y)=0,; f_{y}(x,y)=0).
Escrevo o sistema:
Da segunda equação isolo (y]:
Substituo
na primeira equação:
Calculo o termo final:
então
Coloco em evidência
:
Fatoro o binômio quadrático:
Assim as soluções para
são:
Correspondentes
dão:
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Agora preciso classificar cada ponto. Vou usar o teste das segundas derivadas (explico o que é e como usar).
O teste das segundas derivadas usa as segundas derivadas parciais:
Defino o discriminante (determinante do Hessiano) em um ponto
:
Regras de classificação:
- Se
e no ponto, então é mínimo relativo. - Se
e no ponto, então é máximo relativo. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas da função (mostrando como obtenho cada uma):
A partir de
:
A partir de
:
Observação:
(a função é
, então as derivadas mistas coincidem).
Passo 5
Avalio
e
em cada ponto crítico e uso as regras.
- No ponto
(aqui ):
Como
, concluo que
é um ponto de sela.
- No ponto
(aqui ):
Como
e
,
é um mínimo relativo.
- No ponto
(aqui ):
Como
e
,
é um mínimo relativo.
Se quiser uma confirmação numérica opcional (só para intuição): os valores da função nesses pontos são
o que mostra que em
e
a função assume valores menores que em vizinhanças (coerente com mínimos relativos) e em
a vizinhança tem sinais mistos (coerente com sela).
Passo 6
Resumo final do que encontrei:
- Pontos críticos:
. - Classificações:
ponto de sela; mínimo relativo; mínimo relativo.