Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
f(x, y)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{2}{3} y^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+32 y+4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{2}{3}y^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-6x+32y+4
e classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
\text{função }f(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{2}{3}y^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-6x+32y+4.çã
Perguntas que devemos responder:
  1. Quais são os pontos críticos (ou seja, onde o gradiente é nulo)?
  2. Para cada ponto crítico, determinar se é máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.

Passo 2

Conceito e método para encontrar pontos críticos (aula rápida): um ponto (x,y) é crítico quando as derivadas parciais primeiras são zero simultaneamente. Ou seja, precisamos calcular
f_x(x,y)=0\quad\text{e}\quad f_y(x,y)=0,
onde f_x é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo, e f_y é a derivada em relação a y.
Agora calculamos as derivadas parciais de forma detalhada.

Passo 3

Cálculo de f_x:
Derivando termo a termo em relação a x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^{3}\right)=x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)=x,\qquad \frac{d}{dx}(-6x)=-6,
e termos que dependem só de y ou são constantes têm derivada zero. Logo
f_x(x,y)=x^{2}+x-6.

Passo 4

Cálculo de f_y:
Derivando termo a termo em relação a y:
\frac{d}{dy}\left(-\frac{2}{3}y^{3}\right)=-2y^{2},\qquad \frac{d}{dy}(32y)=32,
e os demais termos não dependem de y. Portanto
f_y(x,y)=-2y^{2}+32.

Passo 5

Encontrar pontos onde o gradiente é zero: resolvemos o sistema
\begin{cases} f_x(x,y)=x^{2}+x-6=0,\\[4pt] f_y(x,y)=-2y^{2}+32=0. \end{cases}
Resolver a equação em x:
x^{2}+x-6=0.
Fatorando:
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)=0,
logo
x=-3\quad\text{ou}\quad x=2.
Resolver a equação em y:
-2y^{2}+32=0 \implies y^{2}=16 \implies y=\pm 4.]

Passo 6

Combinar as soluções para x e y (como as equações são separáveis, todos os pares são candidatos): os pontos críticos são
(-3,4),\quad (-3,-4),\quad (2,4),\quad (2,-4).

Passo 7

Agora vamos classificar cada ponto usando a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+x-6)=2x+1,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2y^{2}+32)=-4y,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(f_x)=0,\qquad f_{yx}(x,y)=0.
A matriz Hessiana é diagonal:
H(x,y)=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2x+1 & 0\\[4pt] 0 & -4y\end{pmatrix}.
O determinante da Hessiana (denotado por D) é
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^{2}=(2x+1)(-4y).
Regra do teste das segundas derivadas (resumo prático):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo relativo.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (não ocorre aqui).]

Passo 8

Aplicar o teste em cada ponto crítico, calculando f_{xx}, f_{yy} e D.
Para (-3,4):
f_{xx}=2(-3)+1=-5,\qquad f_{yy}=-4\cdot 4=-16,
D=(2x+1)(-4y)=(-5)(-16)=80>0.
Como D>0 e f_{xx}=-5<0, concluímos que (-3,4) é um máximo relativo.
Para (-3,-4):
f_{xx}=-5,\qquad f_{yy}=-4\cdot(-4)=16,
D=(-5)(16)=-80<0.
Como D<0, (-3,-4) é um ponto de sela.
Para (2,4):
f_{xx}=2\cdot 2+1=5,\qquad f_{yy}=-4\cdot 4=-16,
D=(5)(-16)=-80<0.
Como D<0, (2,4) é um ponto de sela.
Para (2,-4):
f_{xx}=5,\qquad f_{yy}=-4\cdot(-4)=16,
D=(5)(16)=80>0.
Como D>0 e f_{xx}=5>0, (2,-4) é um mínimo relativo.

Resposta

(-3,4): máximo relativo
(-3,-4): ponto de sela
(2,4): ponto de sela
(2,-4): mínimo relativo

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