Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
Perguntas que devemos responder:
- Quais são os pontos críticos (ou seja, onde o gradiente é nulo)?
- Para cada ponto crítico, determinar se é máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 2
Conceito e método para encontrar pontos críticos (aula rápida): um ponto
é crítico quando as derivadas parciais primeiras são zero simultaneamente. Ou seja, precisamos calcular
onde
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo, e
é a derivada em relação a
.
Agora calculamos as derivadas parciais de forma detalhada.
Passo 3
Cálculo de
:
Derivando termo a termo em relação a :
Derivando termo a termo em relação a
e termos que dependem só de
ou são constantes têm derivada zero. Logo
Passo 4
Cálculo de
:
Derivando termo a termo em relação a :
Derivando termo a termo em relação a
e os demais termos não dependem de
. Portanto
Passo 5
Encontrar pontos onde o gradiente é zero: resolvemos o sistema
Resolver a equação em
:
Fatorando:
logo
Resolver a equação em
:
Passo 6
Combinar as soluções para
e
(como as equações são separáveis, todos os pares são candidatos): os pontos críticos são
Passo 7
Agora vamos classificar cada ponto usando a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
A matriz Hessiana é diagonal:
O determinante da Hessiana (denotado por
) é
Regra do teste das segundas derivadas (resumo prático):
- Se
e então mínimo relativo. - Se
e então máximo relativo. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (não ocorre aqui).]
Passo 8
Aplicar o teste em cada ponto crítico, calculando
,
e
.
Para
:
Como
e
, concluímos que
é um máximo relativo.
Para
:
Como
,
é um ponto de sela.
Para
:
Como
,
é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
,
é um mínimo relativo.