Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
f(x, y)=x^{3}+3 x y-y^{3}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função f e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
A função dada é
f(x,y)=x^{3}+3xy-y^{3}.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f(x,y) (polinomial em x e y), domínio implícito todo o plano \mathbb{R}^{2} (pois a função é polinomial e está definida para todos os (x,y)).
O que precisamos entregar: (1) todas as soluções (x,y) onde o gradiente é nulo (pontos críticos) e (2) a classificação de cada ponto crítico (máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela).

Passo 2

Conceito e procedimento para achar pontos críticos (aula curta e prática): pontos críticos são pontos onde todas as derivadas parciais existem e o gradiente é zero, isto é, onde
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(0,0).
Como f é polinomial, as derivadas parciais existem em todo lugar; então resolvemos o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Calcule as derivadas parciais (faça como na prova: derive em relação a cada variável tratando a outra como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+3y,
\frac{\partial f}{\partial y}=3x-3y^{2}.
Podemos simplificar dividindo por 3 (isso não altera as soluções do sistema):
x^{2}+y=0,\qquad x-y^{2}=0.
Agora resolvemos o sistema. Da segunda equação temos
x=y^{2}.
Substituindo na primeira:
(y^{2})^{2}+y=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{4}+y=0.
Fatorando:
y(y^{3}+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0\quad\text{ou}\quad y^{3}=-1.
Da equação y^{3}=-1 obtemos y=-1. Agora achamos x correspondente em cada caso usando x=y^{2}:
  • Se y=0 então x=0^{2}=0, ponto crítico \,(0,0).
  • Se y=-1 então x=(-1)^{2}=1, ponto crítico \,(1,-1).
Portanto os pontos críticos são \,(0,0) e \,(1,-1).

Passo 3

Como classificar? Usamos o teste das derivadas segundas (teste da Hessiana). Breve lembrete didático: calculem as segundas derivadas, montem a matriz Hessiana
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
e o discriminante
D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.
Regra de ouro do teste (resumida): se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo relativo; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo relativo; se D<0 então ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas:
f_{xx}=6x,\qquad f_{xy}=3,\qquad f_{yy}=-6y.
Logo o determinante da Hessiana é
D(x,y)= (6x)(-6y)-3^{2} = -36xy-9 = -9(4xy+1).

Passo 4

Classificação no ponto \,(0,0): calcule valores
f_{xx}(0,0)=6\cdot 0=0,\qquad f_{xy}(0,0)=3,\qquad f_{yy}(0,0)=-6\cdot 0=0.
Então
D(0,0)=-9<0.
Como D(0,0)<0, pelo teste a conclusão é que \,(0,0) é um ponto de sela. (Interpretação rápida: Hessiana com determinante negativo indica curvaturas opostas nas direções principais — sobe em uma direção e desce em outra.)

Passo 5

Classificação no ponto \,(1,-1): calcule valores
f_{xx}(1,-1)=6\cdot 1=6,\qquad f_{xy}(1,-1)=3,\qquad f_{yy}(1,-1)=-6\cdot(-1)=6.
Então
D(1,-1)=6\cdot 6 - 3^{2}=36-9=27>0.
Como D(1,-1)>0 e f_{xx}(1,-1)=6>0, pelo teste das segundas derivadas \,(1,-1) é um mínimo relativo.

Resposta

(0,0) — ponto de sela
(1,-1) — mínimo relativo

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