Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
A função dada é
A função dada é
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
(polinomial em
e
), domínio implícito todo o plano
(pois a função é polinomial e está definida para todos os
).
O que precisamos entregar: (1) todas as soluções onde o gradiente é nulo (pontos críticos) e (2) a classificação de cada ponto crítico (máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela).
O que precisamos entregar: (1) todas as soluções
Passo 2
Conceito e procedimento para achar pontos críticos (aula curta e prática): pontos críticos são pontos onde todas as derivadas parciais existem e o gradiente é zero, isto é, onde
Como
é polinomial, as derivadas parciais existem em todo lugar; então resolvemos o sistema
e
.
Calcule as derivadas parciais (faça como na prova: derive em relação a cada variável tratando a outra como constante):
Podemos simplificar dividindo por
(isso não altera as soluções do sistema):
Agora resolvemos o sistema. Da segunda equação temos
Substituindo na primeira:
Fatorando:
Da equação
obtemos
. Agora achamos
correspondente em cada caso usando
:
- Se
então , ponto crítico . - Se
então , ponto crítico .
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Como classificar? Usamos o teste das derivadas segundas (teste da Hessiana). Breve lembrete didático: calculem as segundas derivadas, montem a matriz Hessiana
e o discriminante
Regra de ouro do teste (resumida): se
e
então mínimo relativo; se
e
então máximo relativo; se
então ponto de sela; se
o teste é inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas:
Logo o determinante da Hessiana é
Passo 4
Classificação no ponto
: calcule valores
Então
Como
, pelo teste a conclusão é que
é um ponto de sela. (Interpretação rápida: Hessiana com determinante negativo indica curvaturas opostas nas direções principais — sobe em uma direção e desce em outra.)
Passo 5
Classificação no ponto
: calcule valores
Então
Como
e
, pelo teste das segundas derivadas
é um mínimo relativo.