Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada ponto crítico como um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações dadas:
A tarefa é:
- achar todos os pontos
onde o gradiente de é nulo (ou seja, as derivadas parciais são zero); - para cada ponto crítico, usar as derivadas segundas (matriz Hessiana) para classificar o tipo do ponto.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática):
- Um ponto crítico ocorre onde as derivadas parciais primeiras de
são simultaneamente zero (ou não existem). Como é polinomial, as derivadas existem em todo lugar, então procuramos . - Calculamos as derivadas parciais
e . - Para classificar um ponto crítico
usamos o teste das derivadas segundas (Hessiana) em duas variáveis: - Defina
- Se
e então é mínimo relativo. - Se
e então é máximo relativo. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (não ocorre aqui neste problema).
- Defina
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras (passo a passo, explicando cada termo):
- Diferenciando em relação a
, trate como constante. -
. -
. -
. - Os termos que não dependem de
têm derivada zero.
Portanto
Podemos fatorar para facilitar a resolução: -
- Diferenciando em relação a
, trate como constante. -
. -
.
Portanto
-
Passo 4
Achar os pontos críticos resolvendo o sistema
Dividindo por constantes (6 e 3 não alteram as raízes), obtemos:
Como as equações são independentes (uma envolve só
), todas as combinações são possíveis. Logo os pontos críticos são:
Passo 5
Agora vamos classificar cada ponto crítico. Precisamos das derivadas segundas.
Calcule as derivadas segundas:
- Diferenciando
em relação a : - Diferenciando
em relação a : - Como
não depende de e não depende de , temos
Passo 6
Recordando o teste das derivadas segundas: para cada ponto crítico
calcule
Como
, fica simplesmente
Agora avaliamos em cada ponto.
Passo 7
Avaliações ponto a ponto (faça as contas devagar para poder reproduzir na prova):
- Em
:
Como
e
, pelo teste temos um mínimo relativo em
.
- Em
:
Como
, é um ponto de sela em
.
- Em
:
Como
, é um ponto de sela em
.
- Em
:
Como
e
, pelo teste temos um máximo relativo em
.
Passo 8
Resumo interpretativo (para fixar a ideia): quando
é positivo e
a superfície está “curvando para cima” nas duas direções — mínimo; quando
é negativo e
está “curvando para baixo” — máximo; quando
há curvatura com sinais opostos nas direções principais — sela.