Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
f(x, y)=2 x^{3}+y^{3}+3 x^{2}-3 y-12 x-4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=2x^{3}+y^{3}+3x^{2}-3y-12x-4
e classificar cada ponto crítico como um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Informações dadas:
f(x,y)=2x^{3}+y^{3}+3x^{2}-3y-12x-4.
A tarefa é:
  • achar todos os pontos (x,y) onde o gradiente de f é nulo (ou seja, as derivadas parciais são zero);
  • para cada ponto crítico, usar as derivadas segundas (matriz Hessiana) para classificar o tipo do ponto.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática):
  • Um ponto crítico ocorre onde as derivadas parciais primeiras de f são simultaneamente zero (ou não existem). Como f é polinomial, as derivadas existem em todo lugar, então procuramos \nabla f=(0,0).
  • Calculamos as derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
  • Para classificar um ponto crítico (x_0,y_0) usamos o teste das derivadas segundas (Hessiana) em duas variáveis:
    • Defina \displaystyle D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0)-\big(f_{xy}(x_0,y_0)\big)^2.
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo relativo.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo relativo.
    • Se D<0 então é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo (não ocorre aqui neste problema).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras (passo a passo, explicando cada termo):
  • Diferenciando em relação a x, trate y como constante.
    • \dfrac{d}{dx}(2x^{3})=6x^{2}.
    • \dfrac{d}{dx}(3x^{2})=6x.
    • \dfrac{d}{dx}(-12x)=-12.
    • Os termos que não dependem de x têm derivada zero.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}+6x-12.Podemos fatorar para facilitar a resolução: \frac{\partial f}{\partial x}=6\big(x^{2}+x-2\big)=6(x+2)(x-1).
  • Diferenciando em relação a y, trate x como constante.
    • \dfrac{d}{dy}(y^{3})=3y^{2}.
    • \dfrac{d}{dy}(-3y)=-3.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3=3(y^{2}-1)=3(y-1)(y+1).

Passo 4

Achar os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f=(0,0)\): \[\begin{cases} 6(x+2)(x-1)=0,\\[4pt] 3(y-1)(y+1)=0. \end{cases}
Dividindo por constantes (6 e 3 não alteram as raízes), obtemos:
(x+2)(x-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \text{ ou } x=-2,
(y-1)(y+1)=0 \quad\Rightarrow\quad y=1 \text{ ou } y=-1.
Como as equações são independentes (uma envolve só x\], outra só \(y), todas as combinações são possíveis. Logo os pontos críticos são:
(1,1),\quad (1,-1),\quad (-2,1),\quad (-2,-1).]

Passo 5

Agora vamos classificar cada ponto crítico. Precisamos das derivadas segundas.
Calcule as derivadas segundas:
  • Diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}+6x-12 em relação a x: f_{xx}=12x+6.
  • Diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3 em relação a y: f_{yy}=6y.
  • Como \dfrac{\partial f}{\partial x} não depende de y e \dfrac{\partial f}{\partial y} não depende de x, temos f_{xy}=f_{yx}=0.

Passo 6

Recordando o teste das derivadas segundas: para cada ponto crítico (x_0,y_0) calcule
D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0)-\big(f_{xy}(x_0,y_0)\big)^2.
Como f_{xy}=0, fica simplesmente
D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0).
Agora avaliamos em cada ponto.

Passo 7

Avaliações ponto a ponto (faça as contas devagar para poder reproduzir na prova):
  1. Em (1,1):
f_{xx}(1,1)=12\cdot 1+6=18,
f_{yy}(1,1)=6\cdot 1=6,
D(1,1)=18\cdot 6=108>0.
Como D>0 e f_{xx}(1,1)=18>0, pelo teste temos um mínimo relativo em (1,1).
  1. Em (1,-1):
f_{xx}(1,-1)=12\cdot 1+6=18,
f_{yy}(1,-1)=6\cdot(-1)=-6,
D(1,-1)=18\cdot(-6)=-108<0.
Como D<0, é um ponto de sela em (1,-1).
  1. Em (-2,1):
f_{xx}(-2,1)=12\cdot(-2)+6=-24+6=-18,
f_{yy}(-2,1)=6\cdot 1=6,
D(-2,1)=(-18)\cdot 6=-108<0.
Como D<0, é um ponto de sela em (-2,1).
  1. Em (-2,-1):
f_{xx}(-2,-1)=12\cdot(-2)+6=-18,
f_{yy}(-2,-1)=6\cdot(-1)=-6,
D(-2,-1)=(-18)\cdot(-6)=108>0.
Como D>0 e f_{xx}(-2,-1)=-18<0, pelo teste temos um máximo relativo em (-2,-1).

Passo 8

Resumo interpretativo (para fixar a ideia): quando f_{xx} é positivo e D>0 a superfície está “curvando para cima” nas duas direções — mínimo; quando f_{xx} é negativo e D>0 está “curvando para baixo” — máximo; quando D<0 há curvatura com sinais opostos nas direções principais — sela.

Resposta

(1,1) — mínimo relativo
(1,-1) — ponto de sela
(-2,1) — ponto de sela
(-2,-1) — máximo relativo

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