Encontre os pontos críticos das funções:
f(x)=x^2 ln x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x)=x^2ln x. Como há ln x, o domínio é x>0. Pontos críticos são valores de x no domínio onde f'(x)=0 ou onde f' é indefinida.

Passo 2

Para obter f'(x), aplicamos a regra do produto a u=x^2 e v=ln x. Temos
u' = 2x, v' = 1x
Logo,
f'(x) = u'v + uv' = 2xln x + x^2cdot1x = 2xln x + x

Passo 3

Fatoramos f'(x):
f'(x) = x,(2ln x + 1)
No domínio x>0, xneq0 e f' está sempre definida, então para f'(x)=0 basta
2ln x + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo 2ln x + 1 = 0 temos
ln x = -tfrac12 Longrightarrow x = e^-tfrac12 = 1raize

Passo 5

Concluímos que o único ponto crítico no domínio é
x = e^-tfrac12
Se quisermos a coordenada no gráfico, basta calcular
fl(e^-tfrac12r) = l(e^-tfrac12r)^2lnl(e^-tfrac12r) = e^-1cdotl(-tfrac12r) = -12e

Resposta

O único ponto crítico é
x = e^-tfrac12l(ou seja, x=tfrac1raiz er),
correspondendo ao ponto l(e^-tfrac12,-1/(2e)r).

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