Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
h(x)=\frac{x+1}{x^{2}-5 x+4}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função h(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-5x+4}.
Informações dadas:
  • A função é h(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-5x+4}.
  • O domínio será limitado pelos zeros do denominador x^{2}-5x+4 (esses pontos não pertencem ao domínio).
O que será buscado:
  • Os valores de x no domínio de h onde h'(x)=0 ou onde h'(x) não existe (esses últimos só contam como pontos críticos se o ponto estiver no domínio).

Passo 2

Determinar o domínio de h. O denominador é
x^{2}-5x+4.
Fatorando:
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).
Logo, o denominador é zero em x=1 e x=4. Portanto o domínio de h é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1,\\ x\neq4\}.
Observação importante: pontos onde a função não está definida ( x=1,4) não são pontos críticos, porque pontos críticos exigem que o ponto faça parte do domínio da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada h'(x). Usamos a regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
h'(x)=\dfrac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui tomamos u(x)=x+1 e v(x)=x^{2}-5x+4. Então
u'(x)=1,\qquad v'(x)=2x-5.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
h'(x)=\dfrac{1\cdot (x^{2}-5x+4)-(x+1)\cdot(2x-5)}{(x^{2}-5x+4)^{2}}.
Agora calculamos o numerador passo a passo. Primeiro expandir (x+1)(2x-5):
(x+1)(2x-5)=2x^{2}-3x-5.
Então o numerador N(x) é
N(x)=x^{2}-5x+4-(2x^{2}-3x-5).
Simplificando:
N(x)=x^{2}-5x+4-2x^{2}+3x+5=-x^{2}-2x+9.
Podemos escrever
N(x)=-(x^{2}+2x-9).
Portanto
h'(x)=\dfrac{-(x^{2}+2x-9)}{(x^{2}-5x+4)^{2}}.

Passo 5

Encontrar onde h'(x)=0. A derivada é zero quando o numerador é zero (e o ponto está no domínio). Assim resolvemos
x^{2}+2x-9=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para ax^{2}+bx+c=0,
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=2, c=-9. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot(-9)=4+36=40.
Então as raízes são
x=\dfrac{-2\pm\sqrt{40}}{2}=\dfrac{-2\pm 2\sqrt{10}}{2}=-1\pm\sqrt{10}.
Verificamos que esses valores não coincidem com 1 ou 4, então ambos pertencem ao domínio de h. Portanto são abscissas de pontos críticos.

Passo 6

Verificar onde h'(x) não existe: isso ocorre quando o denominador (x^{2}-5x+4)^{2}=0, ou seja quando x^{2}-5x+4=0, isto é x=1 ou x=4. Porém esses x não pertencem ao domínio de h, então não são pontos críticos da função (são pontos de não definição).

Passo 7

Conclusão: os pontos críticos (no sentido de pontos do domínio onde a derivada é zero ou não existe) de h são os pontos com abscissas
x=-1+\sqrt{10}\quad\text{e}\quad x=-1-\sqrt{10}.
Se for desejável, os correspondentes valores da função podem ser obtidos substituindo essas abscissas em h(x). Para exemplo, para x=-1+\sqrt{10} tem-se x+1=\sqrt{10} e x^{2}-5x+4=-7x+13 (usando que x satisfaz x^{2}+2x-9=0), resultando em
h\bigl(-1+\sqrt{10}\bigr)=\dfrac{\sqrt{10}}{20-7\sqrt{10}}
e análoga expressão para x=-1-\sqrt{10}. Esses valores não são necessários para identificar os pontos críticos, apenas para dar a coordenada completa.

Resposta

x=-1+\sqrt{10}
x=-1-\sqrt{10}

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