Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio será limitado pelos zeros do denominador
(esses pontos não pertencem ao domínio).
O que será buscado:
- Os valores de
no domínio de onde ou onde não existe (esses últimos só contam como pontos críticos se o ponto estiver no domínio).
Passo 2
Determinar o domínio de
. O denominador é
Fatorando:
Logo, o denominador é zero em
e
. Portanto o domínio de
é
Observação importante: pontos onde a função não está definida (
) não são pontos críticos, porque pontos críticos exigem que o ponto faça parte do domínio da função.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
. Usamos a regra do quociente: se
, então
Aqui tomamos
e
. Então
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Agora calculamos o numerador passo a passo. Primeiro expandir
:
Então o numerador
é
Simplificando:
Podemos escrever
Portanto
Passo 5
Encontrar onde
. A derivada é zero quando o numerador é zero (e o ponto está no domínio). Assim resolvemos
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para
,
Aqui
,
,
. O discriminante é
Então as raízes são
Verificamos que esses valores não coincidem com
ou
, então ambos pertencem ao domínio de
. Portanto são abscissas de pontos críticos.
Passo 6
Verificar onde
não existe: isso ocorre quando o denominador
, ou seja quando
, isto é
ou
. Porém esses
não pertencem ao domínio de
, então não são pontos críticos da função (são pontos de não definição).
Passo 7
Conclusão: os pontos críticos (no sentido de pontos do domínio onde a derivada é zero ou não existe) de
são os pontos com abscissas
Se for desejável, os correspondentes valores da função podem ser obtidos substituindo essas abscissas em
. Para exemplo, para
tem-se
e
(usando que
satisfaz
), resultando em
e análoga expressão para
. Esses valores não são necessários para identificar os pontos críticos, apenas para dar a coordenada completa.