Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Não foi dada restrição de domínio, então o domínio natural é todo
.
O que precisamos encontrar:
- Pontos críticos são pontos do domínio onde a derivada é zero ou onde a derivada não está definida. Portanto precisamos calcular
, determinar onde e verificar se há pontos onde não existe.
Passo 2
Relembre rápido (fórmulas que vamos usar):
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Regra da cadeia: se
então . - Identidade trigonométrica útil:
Essa identidade vai simplificar nossa vida ao derivar.
Passo 3
Usar a identidade para simplificar
. Aplicando a identidade acima (peguei a identidade da trigonometria conhecida),
Agora trabalhamos com
, que é mais simples de derivar.
Passo 4
Derivar
usando a regra da cadeia.
Seja
. Então
. A derivada de
em relação a
é
. Como
, temos
(Verificação alternativa, só para aprendizado: usando produto inicial
e regra do produto obtém-se o mesmo resultado, pois
, então multiplicando por
dá
.)
Passo 5
Encontrar onde
ou não existe.
A derivada é
. Essa função está bem definida para todo
, então não há pontos onde a derivada não exista. Restam, portanto, os pontos onde
.
Resolver
equivale a
Sabendo que
se e só se
com
, obtemos
Portanto
Passo 6
Breve classificação (opcional, para aprender a identificar máximos e mínimos):
- Segunda derivada:
. - Avaliando em
:
Assim
. Se
é par,
→ ponto de máximo local. Se
é ímpar,
→ ponto de mínimo local. (Não era pedido, mas é útil saber.)