Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
g(x)=2 \operatorname{sen}(x) \cos (x).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função g(x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x).
Informações dadas:
  • A função é g(x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x).
  • Não foi dada restrição de domínio, então o domínio natural é todo \mathbb{R}.
O que precisamos encontrar:
  • Pontos críticos são pontos do domínio onde a derivada é zero ou onde a derivada não está definida. Portanto precisamos calcular g'(x), determinar onde g'(x)=0 e verificar se há pontos onde g'(x) não existe.

Passo 2

Relembre rápido (fórmulas que vamos usar):
  • Derivada de \operatorname{sen}(x) é \operatorname{cos}(x).
  • Derivada de \operatorname{cos}(x) é -\operatorname{sen}(x).
  • Regra da cadeia: se h(x)=f(u(x)) então h'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
  • Identidade trigonométrica útil:
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x).
Essa identidade vai simplificar nossa vida ao derivar.

Passo 3

Usar a identidade para simplificar g. Aplicando a identidade acima (peguei a identidade da trigonometria conhecida),
g(x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\operatorname{sen}(2x).
Agora trabalhamos com g(x)=\operatorname{sen}(2x), que é mais simples de derivar.

Passo 4

Derivar g(x)=\operatorname{sen}(2x) usando a regra da cadeia.
Seja u(x)=2x. Então g(x)=\operatorname{sen}(u(x)). A derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a x é \operatorname{cos}(u)\cdot u'(x). Como u'(x)=2, temos
g'(x)=2\operatorname{cos}(2x).
(Verificação alternativa, só para aprendizado: usando produto inicial g(x)=2\operatorname{sen}x\cos x e regra do produto obtém-se o mesmo resultado, pois (\operatorname{sen}x\cos x)'=\cos^2x-\sin^2x=\operatorname{cos}(2x), então multiplicando por 2 2\operatorname{cos}(2x).)

Passo 5

Encontrar onde g'(x)=0 ou não existe.
A derivada é g'(x)=2\operatorname{cos}(2x). Essa função está bem definida para todo x, então não há pontos onde a derivada não exista. Restam, portanto, os pontos onde g'(x)=0.
Resolver
2\operatorname{cos}(2x)=0
equivale a
\operatorname{cos}(2x)=0.
Sabendo que \operatorname{cos}(\theta)=0 se e só se \theta=\dfrac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}, obtemos
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto
x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Breve classificação (opcional, para aprender a identificar máximos e mínimos):
  • Segunda derivada: g''(x)=-4\operatorname{sen}(2x).
  • Avaliando em x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}:
\operatorname{sen}\bigl(2x\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)=(-1)^k.
Assim g''(x)=-4(-1)^k. Se k é par, g''(x)=-4<0 → ponto de máximo local. Se k é ímpar, g''(x)=4>0 → ponto de mínimo local. (Não era pedido, mas é útil saber.)

Resposta

x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados