Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
h(x)=(x-3)^{\pi}.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função h dada por
h(x)=(x-3)^{\pi}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A constante \pi é um número real positivo e irracional (aproximadamente 3{,}1415).
  • A expressão (x-3)^{\pi} só é real quando a base x-3 é não negativa (isto é, x-3\ge 0), porque para base negativa e expoente irracional o valor não é real.
  • Portanto o domínio real da função é \{x\mid x\ge 3\}, isto é, [3,\infty).
  • Lembrete do que será procurado: pontos críticos são pontos do domínio onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe.

Passo 2

Explicação didática do que vamos usar (regras e ideias).
  • Regra da potência para expoente real: para t>0 e a\in\mathbb{R} vale
\frac{d}{dt}\bigl(t^{a}\bigr)=a\,t^{a-1}.
Aqui devemos tomar cuidado: essa fórmula exige t>0 para garantir a diferenciabilidade usual (para t=0 dependemos do valor de a).
  • Regra da cadeia: se g(x)=f(u(x)) e f é diferenciável em u(x) e u é diferenciável em x, então
g'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso h(x)=f(u(x)) com u(x)=x-3 e f(t)=t^{\pi}. Como u'(x)=1, a derivada de h será simplesmente a derivada de t^{\pi} avaliada em t=x-3.

Passo 3

Calcular a derivada para pontos interiores do domínio (ou seja, para x>3).
Aplicando a regra da potência e a cadeia para t=x-3>0:
h'(x)=\pi\,(x-3)^{\pi-1},\qquad \text{para }x>3.
Agora analiso quando essa derivada é zero ou não existe dentro do intervalo (3,\infty).
  • Como \pi>0 e para x>3 temos (x-3)^{\pi-1}>0, segue que
h'(x)=\pi\,(x-3)^{\pi-1}>0\quad\text{para todo }x>3.
Portanto não existem pontos em (3,\infty) onde h'(x)=0. A derivada também é finita e bem definida para todo x>3, então não há pontos em (3,\infty) onde a derivada deixe de existir.

Passo 4

Analisar o ponto x=3 (extremo do domínio).
  • O ponto x=3 pertence ao domínio porque (3-3)^{\pi}=0^{\pi}=0 (já que \pi>0).
  • A derivada em x=3 no sentido usual (derivada de duas vias) não existe porque a função não está definida para x<3 (não há derivada à esquerda). Contudo, a derivada lateral direita existe; calculo o quociente de diferença à direita:
\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h(3+h)-h(3)}{h} =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{(h)^{\pi}-0}{h} =\lim_{h\to 0^{+}}h^{\pi-1}.
Como \pi-1>0, esse limite vale 0. Ou seja, a derivada à direita em x=3 é 0.
  • Pela definição usual de ponto crítico (ponto do domínio onde a derivada é zero ou não existe), x=3 é um ponto crítico porque a derivada no sentido usual não existe (não há derivada à esquerda). Além disso, pela derivada lateral direita ser 0, o comportamento também confirma que não há derivada de duas vias diferente de zero.

Passo 5

Conclusão e interpretação final.
  • Não há pontos em (3,\infty) com h'(x)=0 nem com h'(x) indefinida.
  • O único ponto do domínio onde a derivada é zero ou deixa de existir é x=3. Portanto o único ponto crítico real da função é x=3.
  • Observação extra útil para prova: a função é estritamente crescente em (3,\infty) pois h'(x)>0 ali; x=3 é o único candidato a extremo no domínio (é um mínimo absoluto porque h(3)=0 e h(x)>0 para x>3).

Resposta

\;x=3\;

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