Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
dada por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A constante
é um número real positivo e irracional (aproximadamente ). - A expressão
só é real quando a base é não negativa (isto é, ), porque para base negativa e expoente irracional o valor não é real. - Portanto o domínio real da função é
, isto é, . - Lembrete do que será procurado: pontos críticos são pontos do domínio onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe.
Passo 2
Explicação didática do que vamos usar (regras e ideias).
- Regra da potência para expoente real: para
e vale
Aqui devemos tomar cuidado: essa fórmula exige
para garantir a diferenciabilidade usual (para
dependemos do valor de
).
- Regra da cadeia: se
e é diferenciável em e é diferenciável em , então
No nosso caso
com
e
. Como
, a derivada de
será simplesmente a derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Calcular a derivada para pontos interiores do domínio (ou seja, para
).
Aplicando a regra da potência e a cadeia para :
Aplicando a regra da potência e a cadeia para
Agora analiso quando essa derivada é zero ou não existe dentro do intervalo
.
- Como
e para temos , segue que
Portanto não existem pontos em
onde
. A derivada também é finita e bem definida para todo
, então não há pontos em
onde a derivada deixe de existir.
Passo 4
Analisar o ponto
(extremo do domínio).
- O ponto
pertence ao domínio porque (já que ). - A derivada em
no sentido usual (derivada de duas vias) não existe porque a função não está definida para (não há derivada à esquerda). Contudo, a derivada lateral direita existe; calculo o quociente de diferença à direita:
Como
, esse limite vale
. Ou seja, a derivada à direita em
é
.
- Pela definição usual de ponto crítico (ponto do domínio onde a derivada é zero ou não existe),
é um ponto crítico porque a derivada no sentido usual não existe (não há derivada à esquerda). Além disso, pela derivada lateral direita ser , o comportamento também confirma que não há derivada de duas vias diferente de zero.
Passo 5
Conclusão e interpretação final.
- Não há pontos em
com nem com indefinida. - O único ponto do domínio onde a derivada é zero ou deixa de existir é
. Portanto o único ponto crítico real da função é . - Observação extra útil para prova: a função é estritamente crescente em
pois ali; é o único candidato a extremo no domínio (é um mínimo absoluto porque e para ).