Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
f(x)=3-2 x ;[1,6).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3-2x e o intervalo [1,6). O que é pedido:
  • Encontrar o valor máximo de f em [1,6), se existir.
  • Encontrar o valor mínimo de f em [1,6), se existir.
Informações importantes dadas:
  • A função é f(x)=3-2x.
  • O domínio de interesse é o intervalo [1,6), ou seja, inclui x=1 e não inclui x=6.

Passo 2

Ideia geral (passo a passo do que vamos checar): para procurar extremos num intervalo procuramos
  1. pontos críticos no interior do intervalo (onde a derivada é zero ou não existe), e
  2. valores nos pontos finais do intervalo (aqui: x=1 e o limite quando x\to6^-, pois x=6 não pertence ao intervalo).
Explicando a ferramenta que vamos usar (derivada e monotonicidade) de forma simples:
  • A derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente; se f'(x)>0 a função sobe (é crescente) localmente, se f'(x)<0 a função desce (é decrescente) localmente.
  • Para uma função linear ax+b, a derivada é constante e igual a a. Se essa derivada for negativa, a função é decrescente em todo o intervalo, então os maiores valores aparecem em pontos mais à esquerda e os menores em pontos mais à direita.

Passo 3

Calcular a derivada e encontrar pontos críticos:
  • Derivada de f(x)=3-2x é f'(x)=-2. (Aqui usei a regra básica de derivação: a derivada de cx é c, e de uma constante é 0.)
  • Como f'(x)=-2\neq0 para todo x, não há pontos críticos no interior do intervalo [1,6).
  • Conclusão intermediária: f é estritamente decrescente em todo \mathbb{R} (portanto também em [1,6)). Logo, em termos intuitivos, o maior valor em [1,6) deve ocorrer no menor x do intervalo ( x=1) e o menor valor tenderia a ocorrer no maior x do intervalo ( x próximo de 6), mas precisamos cuidar que 6 não pertence ao intervalo.

Passo 4

Avaliar nos pontos relevantes:
  • Avaliar em x=1:
    f(1)=3-2\cdot1=3-2=1.
    Então f(1)=1.
  • Observar o comportamento quando x aproxima de 6 pela esquerda:
    \displaystyle \lim_{x\to6^-} f(x)=\lim_{x\to6^-}(3-2x)=3-2\cdot6=3-12=-9.
    Como x=6 não pertence ao intervalo, o valor -9 não é assumido por f em [1,6); porém existem valores de x em [1,6) com f(x) arbitrariamente próximos de -9 (por exemplo x=5{,}9 f(5{,}9)\approx -8{,}8).

Passo 5

Interpretação final e conclusão:
  • Como f é decrescente e x=1 é o menor ponto do intervalo, f(1)=1 é o maior valor que f assume em [1,6). Esse máximo é atingido (existe).
  • Como x=6 não pertence ao intervalo, o valor que seria o mínimo ( -9) não é atingido; assim, não há mínimo em [1,6). Ainda assim -9 é o ínfimo (o menor limite possível), ou seja \inf_{[1,6)} f=-9.

Resposta

Máximo: 1 em x=1.
Mínimo: não existe ( \inf_{[1,6)} f = -9 ).

Exercícios relacionados