Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
. O que é pedido:
- Encontrar o valor máximo de
em , se existir. - Encontrar o valor mínimo de
em , se existir.
Informações importantes dadas:
- A função é
. - O domínio de interesse é o intervalo
, ou seja, inclui e não inclui .
Passo 2
Ideia geral (passo a passo do que vamos checar): para procurar extremos num intervalo procuramos
- pontos críticos no interior do intervalo (onde a derivada é zero ou não existe), e
- valores nos pontos finais do intervalo (aqui:
e o limite quando , pois não pertence ao intervalo).
Explicando a ferramenta que vamos usar (derivada e monotonicidade) de forma simples:
- A derivada
mede a inclinação da reta tangente; se a função sobe (é crescente) localmente, se a função desce (é decrescente) localmente. - Para uma função linear
, a derivada é constante e igual a . Se essa derivada for negativa, a função é decrescente em todo o intervalo, então os maiores valores aparecem em pontos mais à esquerda e os menores em pontos mais à direita.
Passo 3
Calcular a derivada e encontrar pontos críticos:
- Derivada de
é . (Aqui usei a regra básica de derivação: a derivada de é , e de uma constante é .) - Como
para todo , não há pontos críticos no interior do intervalo . - Conclusão intermediária:
é estritamente decrescente em todo (portanto também em ). Logo, em termos intuitivos, o maior valor em deve ocorrer no menor do intervalo ( ) e o menor valor tenderia a ocorrer no maior do intervalo ( próximo de ), mas precisamos cuidar que não pertence ao intervalo.
Passo 4
Avaliar nos pontos relevantes:
- Avaliar em
:
.
Então. - Observar o comportamento quando
aproxima de pela esquerda:
Comonão pertence ao intervalo, o valor não é assumido por em ; porém existem valores de em com arbitrariamente próximos de (por exemplo dá ).
Passo 5
Interpretação final e conclusão:
- Como
é decrescente e é o menor ponto do intervalo, é o maior valor que assume em . Esse máximo é atingido (existe). - Como
não pertence ao intervalo, o valor que seria o mínimo ( ) não é atingido; assim, não há mínimo em . Ainda assim é o ínfimo (o menor limite possível), ou seja .
Resposta
Máximo:
em
.
Mínimo: não existe ( ).
Mínimo: não existe (