Suponha que z=x^{3} y^{4}, onde x e y estão variando com o tempo (em segundos). No instante em que x=2 e y=3, x está decrescendo a uma taxa de 2 unidades de comprimento por segundo e y está crescendo a uma taxa de 6 unidades de comprimento por segundo. Com que rapidez z estará variando neste instante? z é crescente ou decrescente?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
A função é z = x^{3} y^{4}.
As variáveis x e y variam com o tempo t (segundos).
No instante considerado:
x = 2.
y = 3.
x está decrescendo a uma taxa de 2 unidades por segundo, isto é \dfrac{dx}{dt} = -2 (unidades de comprimento por segundo).
y está crescendo a uma taxa de 6 unidades por segundo, isto é \dfrac{dy}{dt} = 6 (unidades de comprimento por segundo).
O enunciado pede:
Com que rapidez z está variando nesse instante, ou seja \dfrac{dz}{dt} naquele ponto.
Determinar se z está crescendo ou decrescendo nesse instante (sinal de \dfrac{dz}{dt}).
Passo 2
Qual a ideia / fórmula que vamos usar (aula rápida e didática).
Quando uma função depende de duas variáveis que, por sua vez, dependem do tempo, usamos a regra da cadeia para derivadas de várias variáveis. Ela diz que a taxa de variação total de z em relação a t é a soma das contribuições das variações de x e de y, ponderadas pelas derivadas parciais de z. Formalmente:
\dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x: como se variássemos apenas x mantendo y fixo.
\dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y: como se variássemos apenas y mantendo x fixo.
\dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as taxas conhecidas (variações de x e y no tempo).
Usaremos essa fórmula e depois avaliaremos tudo no ponto dado (x,y)=(2,3).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de z (aqui aplicamos a regra de potência).
A função é z = x^{3} y^{4}. Tratando y como constante e derivando em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^{2} \, y^{4}.
Tratando x como constante e derivando em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} = 4x^{3} \, y^{3}.
Breve explicação da regra usada: a derivada de x^{n} em relação a x é n x^{n-1}. Como y^{4} é constante ao derivar em relação a x, ela permanece multiplicando; análogo para a derivada em relação a y.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto dado (x,y)=(2,3).
Substituindo os valores que já encontramos e as taxas \dfrac{dx}{dt}=-2 e \dfrac{dy}{dt}=6:
\frac{dz}{dt} = 972\cdot(-2) + 864\cdot 6.
Calcule cada produto:
972\cdot(-2) = -1944, \qquad 864\cdot 6 = 5184.
Somando:
\frac{dz}{dt} = -1944 + 5184 = 3240.
Passo 6
Interpretação do sinal e unidades (motivar e incentivar).
O valor encontrado é \dfrac{dz}{dt}=3240. Como esse número é positivo, isso significa que z está aumentando naquele instante — ou seja, z está crescendo.
A unidade de \dfrac{dz}{dt} é “unidades de z por segundo” (depende das unidades de x e y originais; aqui ficou “unidades de comprimento^7 por segundo” se x e y têm unidade de comprimento, porque z=x^{3}y^{4} tem potência combinada 7; não é necessário na prova saber isso, só importante saber que a taxa é por segundo).
Boa! Conseguimos calcular passo a passo. Mantém a calma — problemas de taxas relacionadas são sempre aplicar a regra da cadeia e avaliar no ponto.
Resposta
\dfrac{dz}{dt}=3240 unidades por segundo. z está crescendo (porque \dfrac{dz}{dt}>0).