Encontre os pontos críticos:
g(t)=t^{4}+t^{3}+t^{2}+t

Passo 1

Resumindo, temos a função g(t)=t^{4}+t^{3}+t^{2}+t e queremos encontrar seus pontos críticos, ou seja, os valores de t onde a derivada é zero ou não existe.

Passo 2

Para achar a derivada usamos a regra de potência em cada termo. Obtemos
g'(t)=4t^{3}+3t^{2}+2t+1.
Essa é uma função polinomial de grau três, definida e contínua para todo t, logo não há pontos onde g' deixe de existir.

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem g'(t)=0, isto é,
4t^{3}+3t^{2}+2t+1=0.
Testando possíveis raízes racionais \pm1,\pm\tfrac12,\pm\tfrac14, nenhuma delas anula a derivada. Como g'(-1)=-2<0 e g'(-0,5)=0,25>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz real em (-1,-0,5). Aplicando o método da bisseção ou Newton, aproximamos essa raiz por
t\approx -0,606.

Passo 4

Para verificar se há mais raízes reais, dividimos 4t^{3}+3t^{2}+2t+1 por (t+0,606) via divisão sintética e obtemos um quadrático cujo discriminante é negativo. Isso mostra que as outras duas raízes são complexas, ficando apenas uma solução real.

Resposta

O único ponto crítico de g é
t\approx -0,606.

Exercícios relacionados