Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiōes do plano- determinadas pelos gráficos das soluções de equilibrio.
Passo 1
O enunciado dá a EDO autônoma de primeira ordem
e pede (i) os pontos de equilíbrio (ou críticos), (ii) a classificação de cada um (estável, instável ou semiestável) e (iii) o retrato de fase (linha de fase em ) e um esboço das curvas integrais típicas no plano . Para isso, vamos:
Resolver para achar os equilíbrios.
Calcular para decidir estabilidade.
Desenhar a linha de fase com setas conforme o sinal de .
Descrever como se comportam as curvas em cada região.
Passo 2
Os pontos de equilíbrio satisfazem
Passo 3
Para classificar cada equilíbrio, usamos e calculamos
Em :
Em :
Passo 4
Linha de fase (eixo vertical em )
Para : temos , então (seta para cima).
Para : , logo (seta para baixo).
Para : , logo (seta para cima).
Esquematicamente, na reta :
Passo 5
Curvas integrais no plano (x,y):
Região y<0: as soluções sobem à medida que x cresce e, no limite xto+infty, tendem a y=0.
Região 0<y<3: as soluções descem e, para xto+infty, aproximam-se de y=0; para xto-infty, aproximam-se de y=3.
Região y>3: as soluções sobem ainda mais e, para xto-infty, aproximam-se de y=3.
Num esboço à mão você desenha as retas horizontais y=0 (estável) e y=3 (instável), depois traça algumas curvas acima, entre e abaixo dessas retas, indicando setas conforme as tendências acima.
Resposta
Os pontos críticos são
y=0(assintoticamente estável), y=3(instável) áá
O retrato de fase mostra setas para cima em y<0 e y>3, e para baixo em 0<y<3. Curvas integrais típicas no plano (x,y) aproximam-se de y=3 para xto-infty e de y=0 para xto+infty nas regiões conforme indicado.