Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiōes do plano- x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilibrio.
d yd x=y^2-3 y

Passo 1

O enunciado dá a EDO autônoma de primeira ordem
dydx ;=; y^2 ;-;3,y ;=; y,(y-3),
e pede (i) os pontos de equilíbrio (ou críticos), (ii) a classificação de cada um (estável, instável ou semiestável) e (iii) o retrato de fase (linha de fase em y) e um esboço das curvas integrais típicas no plano (x,y). Para isso, vamos:
  1. Resolver y^2-3y=0 para achar os equilíbrios.
  2. Calcular f'(y) para decidir estabilidade.
  3. Desenhar a linha de fase com setas conforme o sinal de f(y).
  4. Descrever como se comportam as curvas y(x) em cada região.

Passo 2

Os pontos de equilíbrio satisfazem
y^2-3y=0 Longrightarrow y,(y-3)=0 Longrightarrow y=0 ;;ou;; y=3

Passo 3

Para classificar cada equilíbrio, usamos f(y)=y(y-3) e calculamos
f'(y) ;=; 2y-3
Em y=0:
f'(0)=2cdot0-3=-3<0 Longrightarrow equilíbrio assintoticamente estável íá
Em y=3:
f'(3)=2cdot3-3=3>0 Longrightarrow equilíbrio instável íá

Passo 4

Linha de fase (eixo vertical em y)
  • Para y<0: temos y(y-3)>0, então dydx>0 (seta para cima).
  • Para 0<y<3: y(y-3)<0, logo dydx<0 (seta para baixo).
  • Para y>3: y(y-3)>0, logo dydx>0 (seta para cima).
Esquematicamente, na reta y:
underbrace;;uparrow;y<0 ;0;l(estávelr) ;downarrow; 3;l(instávelr) ;uparrow; áá

Passo 5

Curvas integrais no plano (x,y):
  • Região y<0: as soluções sobem à medida que x cresce e, no limite xto+infty, tendem a y=0.
  • Região 0<y<3: as soluções descem e, para xto+infty, aproximam-se de y=0; para xto-infty, aproximam-se de y=3.
  • Região y>3: as soluções sobem ainda mais e, para xto-infty, aproximam-se de y=3.
Num esboço à mão você desenha as retas horizontais y=0 (estável) e y=3 (instável), depois traça algumas curvas acima, entre e abaixo dessas retas, indicando setas conforme as tendências acima.

Resposta

Os pontos críticos são
y=0(assintoticamente estável), y=3(instável) áá
O retrato de fase mostra setas para cima em y<0 e y>3, e para baixo em 0<y<3. Curvas integrais típicas no plano (x,y) aproximam-se de y=3 para xto-infty e de y=0 para xto+infty nas regiões conforme indicado.

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