Resolva as edols:
y^prime prime-6 y^prime+13 y=e^x cos (x)

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 6y' + 13y = e^xcos(x)
O que vamos precisar é a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea e de uma solução particular a esse forçamento.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica
r^2 - 6r + 13 = 0
As raízes são
r = 6 pm raiz36 - 522 = 3 pm 2i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = e^3xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r)

Passo 3

Como o termo não homogêneo é e^xcos(x), usamos o método dos coeficientes a determinar com o ansatz
yp(x) = e^xl(Acos x + Bsin xr)
Calculando as derivadas e aplicando L[yp]=yp'' -6yp'+13yp, obtemos, após agrupar em cos x e sin x,
L[yp] = e^xl[(7A - 4B)cos x + (4A + 7B)sin xr]
Isso deve ser igual a e^xcos x, ou seja,
(7A - 4B)cos x + (4A + 7B)sin x = 1cdotcos x + 0cdotsin x

Passo 4

Igualando coeficientes surge o sistema
7A - 4B = 1, 4A + 7B = 0
Resolvendo, encontramos
A = 765, B = -465
Logo
yp(x) = e^xl(tfrac765cos x - tfrac465sin xr)

Resposta

y(x) = e^3xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r) ;+; e^xl(tfrac765cos x - tfrac465sin xr)

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