Resolva as edols:
y^prime prime+2 y^prime=cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' = cos(2x)
O conteúdo necessário é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da parte homogênea
y'' + 2y' = 0
A equação característica é
r^2 + 2r = r(r+2) = 0,
cujas raízes são r=0 e r=-2.
Logo a solução homogênea é
yc = C1 + C2 e^-2x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular da forma
yp = Acos(2x) + Bsin(2x)
Calculamos as derivadas:
y'p = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x),
y''p = -4Acos(2x) -4Bsin(2x)

Passo 4

Substituindo
Isso deve ser igual a , então igualamos coeficientes:
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma de yc e yp:
y(x) = C1 + C2 e^-2x ;+;l(-tfrac18cos(2x)+tfrac18sin(2x)r)

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-2x - 18cos(2x) + 18sin(2x)

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