encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiões do plano
determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
e pede (i) os pontos críticos (equilíbrios) em que
, (ii) a classificação de estabilidade de cada equilíbrio e (iii) o retrato de fase com esboço das curvas integrais típicas no plano
. Para isso vamos usar análise de sinais da função
.
Passo 2
Encontramos os equilíbrios resolvendo
logo
Passo 3
Agora analisamos o sinal de
. Para
com
temos
e
, portanto
e as soluções são crescentes (
). Para
temos
e
, logo
e as soluções são decrescentes (
).
Passo 4
Classificamos cada ponto crítico examinando para que lado as setas do fluxo apontam:
Em
, quando
temos
(setas para cima) e quando
temos
(setas para baixo). As setas convergem para
, ou seja, é assintoticamente estável.
Em
, quando
temos
(setas para baixo) e quando
temos
(setas para cima). As setas divergem de
, logo é instável.
Em
, quando
temos
(setas para cima em direção a 0) e quando
também
(setas para cima saindo de 0). O fluxo entra por um lado e sai pelo outro, caracterizando
como semiestável.
Passo 5
O retrato de fase unidimensional em
é:
No plano
, cada curva integral
sobe nas regiões onde
e desce onde
, aproximando-se de
para
se iniciar em
com
, aproximando-se de
para
se
, etc.