encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiões do plano x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
d yd x=y^2(4-y^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
dydx=y^2(4-y^2)
e pede (i) os pontos críticos (equilíbrios) em que dydx=0, (ii) a classificação de estabilidade de cada equilíbrio e (iii) o retrato de fase com esboço das curvas integrais típicas no plano xy. Para isso vamos usar análise de sinais da função f(y)=y^2(4-y^2).

Passo 2

Encontramos os equilíbrios resolvendo
y^2(4-y^2)=0,
logo
y=0e y^2=4implies y=pm2

Passo 3

Agora analisamos o sinal de f(y)=y^2(4-y^2). Para |y|<2 com yneq0 temos y^2>0 e 4-y^2>0, portanto f(y)>0 e as soluções são crescentes ( dy/dx>0). Para |y|>2 temos y^2>0 e 4-y^2<0, logo f(y)<0 e as soluções são decrescentes ( dy/dx<0).

Passo 4

Classificamos cada ponto crítico examinando para que lado as setas do fluxo apontam:
Em y=2, quando 0<y<2 temos dy/dx>0 (setas para cima) e quando y>2 temos dy/dx<0 (setas para baixo). As setas convergem para y=2, ou seja, é assintoticamente estável.
Em y=-2, quando y<-2 temos dy/dx<0 (setas para baixo) e quando -2<y<0 temos dy/dx>0 (setas para cima). As setas divergem de -2, logo é instável.
Em y=0, quando -2<y<0 temos dy/dx>0 (setas para cima em direção a 0) e quando 0<y<2 também dy/dx>0 (setas para cima saindo de 0). O fluxo entra por um lado e sai pelo outro, caracterizando y=0 como semiestável.

Passo 5

O retrato de fase unidimensional em y é:
y<-2:downarrow, -2<y<0:uparrow, 0<y<2:uparrow, y>2:downarrow
No plano xy, cada curva integral y(x) sobe nas regiões onde dy/dx>0 e desce onde dy/dx<0, aproximando-se de y=2 para xto+infty se iniciar em (x0,y0) com 0<y0<2, aproximando-se de y=-2 para xto-infty se y0<-2, etc.

Resposta

y=-2(instável), y=0(semiestável), y=2(assintoticamente estável) ááá

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