1. Use a Regra de l’Hôspital para mostrar que
lim lambda 0^+ f(lambda)=0 e lim lambda infty f(lambda)=0
para a Lei de Planck. Assim, essa lei pode modelar melhor a radiação do corpo negro que a Lei de Rayleigh-Jeans para comprimentos de onda mais curtos.

Passo 1

O enunciado dá a Lei de Planck na forma
f(lambda)=2hc^2lambda^5l(e^hckBTlambda-1r),
onde h, c, kB e T são constantes positivas. Queremos mostrar que
limlambdato0^+f(lambda)=0 e limlambdatoinftyf(lambda)=0
usando a Regra de l’H^opital, o que explica por que a Lei de Planck não diverge em comprimentos de onda curtos nem em comprimentos de onda muito longos.

Passo 2

Limite quando lambdato0^+. Faça a mudança de variável
y=1lambda,
então lambdato0^+ equivale a yto+infty e
f(lambda) =2hc^2lambda^5l(e^hckBTlambda-1r) =2hc^2,y^5e^a,y-1, a=hckBT>0
Agora numerador e denominador tendem a +infty, forma inftyinfty. Aplicamos l’H^opital cinco vezes: a cada derivada o numerador perde um fator y (pois ddyy^n=n,y^n-1) e o denominador permanece sendo proporcional a e^a y. Após cinco derivações obtemos
limytoinfty2hc^2,y^5e^a,y-1 =limytoinftyconstantea^5e^a,y =0
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limlambdato0^+f(lambda)=0

Passo 3

Limite quando lambdatoinfty. Note que para lambdatoinfty temos
e^hckBTlambda-1;xrightarrow;lambdatoinfty;;0 e 2hc^2lambda^5;xrightarrow;lambdatoinfty;;0,
forma 0/0. Aplique uma vez l’H^opital em
g(lambda)=2hc^2,lambda^-5, h(lambda)=e^alambda-1, a=hckBT
Calculando
g'(lambda)=-10,hc^2,lambda^-6, h'(lambda)=-alambda^2,e^alambda,
temos
limlambdatoinftyf(lambda) =limlambdatoinftyg'(lambda)h'(lambda) =limlambdatoinfty-10,hc^2,lambda^-6-alambda^2,e^alambda =limlambdatoinfty10,hc^2a,e^-alambdalambda^4
Como e^-a/lambdato1 e lambda^4toinfty, obtemos
limlambdatoinftyf(lambda)=0

Resposta

limlambdato0^+f(lambda)=0, limlambdatoinftyf(lambda)=0
Isso mostra que a Lei de Planck cai para zero tanto em lambdato0 quanto em lambdatoinfty, evitando a divergência que aparece na Lei de Rayleigh–Jeans para comprimentos de onda curtos.

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