Exercício 4 Calcule a transformada de Laplace de f^prime(t) e f^prime prime(t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as transformadas de Laplace de f'(t) e de f''(t). O conteúdo necessário é a definição
Lg(t)=integral0^inftye^-stg(t),dt
e a técnica de integração por partes, além de usar a convenção F(s)=Lf(t) e valores iniciais f(0) e f'(0).

Passo 2

Vamos achar Lf'(t) por integração por partes, tomando
u = e^-st, dv = f'(t),dt
Então du = -s,e^-stdt e v = f(t). Aplicando a fórmula
integral0^inftyu,dv = lu,vr|0^infty - integral0^inftyv,du
obtemos
Lf'(t) =integral0^inftye^-stf'(t),dt =l[e^-stf(t)r]0^infty - integral0^infty(-s,e^-st)f(t),dt
Sob condições habituais f(t)e^-stto0 quando ttoinfty, logo
l[e^-stf(t)r]0^infty = 0 - f(0) = -f(0),
e o restante é
Lf'(t) = -l(-f(0)r) + sintegral0^inftye^-stf(t),dt = s,F(s) - f(0)

Passo 3

Para Lf''(t) podemos repetir a integração por partes duas vezes ou usar a propriedade já obtida:
Lf''(t) = Lll(f'(t)r)'r = s,Lf'(t) - f'(0)
Substituindo Lf'(t)=sF(s)-f(0), vem
Lf''(t) = sl(sF(s)-f(0)r) - f'(0) = s^2F(s) - s,f(0) - f'(0)

Resposta

Lf'(t)=s,F(s)-f(0)
Lf''(t)=s^2F(s)-s,f(0)-f'(0)

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