Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
h(x, y)=e^y sen(3 x).
(Resposta: (2,-3) ;(n pi, 0) ;(-1,5 / 2),(3,-3 / 2) ;(0,0); não existe)

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos da função $ h(x, y) = e^{y} \sin(3x) $. Critérios críticos são aqueles pontos onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, que a gente denota por $ h_x $. Como $ e^{y} $ é uma constante em relação a $ x $, a derivada fica:
h

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, denotada por $ h_y $. Aqui, a derivada de $ e^{y} $ é $ e^{y} $ e $ \sin(3x) $ é constante em relação a $ y $:
h

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde ambas as derivadas são iguais a zero:
3e^y cos(3x) = 0 e^y sin(3x) = 0
Como $ e^{y} $ nunca é zero (já que exponencial nunca é zero), podemos dividir ambas as equações por $ e^{y} $, simplificando o sistema para:
e^y

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação:
3cos(3x) = 0 Rightarrow cos(3x) = 0
A solução para $ \cos(3x) = 0 $ ocorre quando $ 3x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é um inteiro. Então:
cos(3x) = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação:
sin(3x) = 0
Isso acontece quando $ 3x = n\pi $, ou seja:
3x = npi
Comparando com a solução anterior, percebemos que para ambas as equações serem verdadeiras simultaneamente, não existe nenhum $ x $ que satisfaça ambas. Portanto, o sistema não tem solução.

Resposta

Não existem pontos críticos para a função $ h(x, y) = e^{y} \sin(3x) $.

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