Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
.
(Resposta:
; não existe)
(Resposta:
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos da função $ h(x, y) = e^{y} \sin(3x) $. Critérios críticos são aqueles pontos onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $, que a gente denota por $ h_x $. Como $ e^{y} $ é uma constante em relação a $ x $, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $, denotada por $ h_y $. Aqui, a derivada de $ e^{y} $ é $ e^{y} $ e $ \sin(3x) $ é constante em relação a $ y $:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde ambas as derivadas são iguais a zero:
Como $ e^{y} $ nunca é zero (já que exponencial nunca é zero), podemos dividir ambas as equações por $ e^{y} $, simplificando o sistema para:
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação:
A solução para $ \cos(3x) = 0 $ ocorre quando $ 3x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é um inteiro. Então:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação:
Isso acontece quando $ 3x = n\pi $, ou seja:
Comparando com a solução anterior, percebemos que para ambas as equações serem verdadeiras simultaneamente, não existe nenhum $ x $ que satisfaça ambas. Portanto, o sistema não tem solução.
Resposta
Não existem pontos críticos para a função $ h(x, y) = e^{y} \sin(3x) $.