Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = \sqrt{4 y^{2} - 9 x^{2} + 24 y + 36 x - 7} $. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero ou não existem. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função. Temos uma raiz quadrada, então a expressão dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para que a função seja real. Ou seja:
Isso define o domínio da função onde vamos procurar os pontos críticos.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Lembre-se que a derivada de $ \sqrt{u} $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{2\sqrt{u}} $. Então:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero:
Como a fração tem o denominador $ 2\sqrt{…} $, que é positivo dentro do domínio da função, podemos focar apenas nos numeradores:
Passo 5
Vamos resolver cada equação:
Para $ f_{x}(x, y) = 0 $:
Para $ f_{y}(x, y) = 0 $:
Passo 6
Agora, temos um ponto crítico candidato: $ (x, y) = (2, -3) $. Precisamos verificar se esse ponto está dentro do domínio da função, ou seja, se satisfaz:
Calculando:
Isso não é verdadeiro, então o ponto $ (2, -3) $ não está no domínio da função.
Passo 7
Como o ponto crítico encontrado não está dentro do domínio da função, concluímos que não existem pontos críticos reais para a função $ f(x, y) $.
Resposta
A função $ f(x, y) = \sqrt{4 y^{2} - 9 x^{2} + 24 y + 36 x - 7} $ não possui pontos críticos reais.