Considere a função y(x, z)=e^x cos z. Encontre equações para o plano tangente e a reta normal ao seu gráfico no ponto (x0, y0, z0)= (1, e, 0) ( Resposta: e(x-1)-(y-e)=0 ; r(s)=(1+s e, e-s, 0), s in R)

Passo 1

A questão pede para encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função de duas variáveis y=f(x,z)=e^xcos z no ponto (x0,y0,z0)=(1,e,0). Vamos usar cálculo de derivadas parciais e a forma implícita do gráfico para montar essas equações.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,z):
partial fpartial x=e^xcos z, partial fpartial z=-e^xsin z
No ponto (1,0) em (x,z) temos
partial fpartial x(1,0)=e^1cos0=e, partial fpartial z(1,0)=-e^1sin0=0

Passo 3

Para o plano tangente ao gráfico, usamos a forma explícita
y-y0= fx(x0,z0)(x-x0)+fz(x0,z0)(z-z0)
Substituindo y0=e, x0=1, z0=0, fx=e e fz=0, obtemos
y-e = e(x-1) + 0cdot(z-0)
que rearranjando dá
e(x-1)-(y-e)=0

Passo 4

Para achar a reta normal, notamos que o vetor normal ao plano tangente é
n=(fx, -1, fz)=(e,-1,0)
ou qualquer múltiplo. A reta normal parte de (1,e,0) com direção (e,-1,0), logo sua forma paramétrica é
(x,y,z)=(1,e,0)+s,(e,-1,0)

Passo 5

Podemos reescrever parametricamente:
x=1+se, y=e-s, z=0
com sinR.

Resposta

e(x-1)-(y-e)=0, r(s)=(1+se,,e-s,,0), sinR

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