Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
f(x, y)=raiz4 y^2-9 x^2+24 y+36 x-7

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: Temos a função $ f(x, y) = \sqrt{4 y^{2}} - 9 x^{2} + 24 y + 36 x - 7 $ e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais. Precisamos calcular as derivadas de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e encontrar onde ambas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A derivada parcial nos mostra como a função muda quando alteramos apenas $ x $, mantendo $ y $ constante.
Começamos com a função:
f
Observando $ \sqrt{4 y^{2}} $, sabemos que isso simplifica para $ 2|y| $. Para facilitar, vamos assumir que $ y $ é positivo, então:
x
Agora, a função fica:
x
y
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a $ x $:
f(x, y) = raiz4 y^2 - 9 x^2 + 24 y + 36 x - 7

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Isso mostra como a função muda quando alteramos apenas $ y $, mantendo $ x $ constante.
Usando a forma simplificada da função:
f
Calculamos a derivada parcial em relação a $ y $:
y

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos encontrar onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolvemos o sistema:
fx = -18x + 36 = 0
fy = 26 = 0
Resolvendo a primeira equação para $ x $:
x
-18x + 36 = 0
-18x = -36
Agora, olhamos para a segunda equação:
x = 2
Isso é impossível, pois 26 nunca será igual a zero. Portanto, não há valores de $ y $ que satisfaçam essa equação.

Resposta

A função não possui pontos críticos.

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