Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito: Temos a função $ f(x, y) = \sqrt{4 y^{2}} - 9 x^{2} + 24 y + 36 x - 7 $ e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais. Precisamos calcular as derivadas de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e encontrar onde ambas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A derivada parcial nos mostra como a função muda quando alteramos apenas $ x $, mantendo $ y $ constante.
Começamos com a função:
Observando $ \sqrt{4 y^{2}} $, sabemos que isso simplifica para $ 2|y| $. Para facilitar, vamos assumir que $ y $ é positivo, então:
Agora, a função fica:
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Isso mostra como a função muda quando alteramos apenas $ y $, mantendo $ x $ constante.
Usando a forma simplificada da função:
Calculamos a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos encontrar onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, resolvemos o sistema:
Resolvendo a primeira equação para $ x $:
Agora, olhamos para a segunda equação:
Isso é impossível, pois 26 nunca será igual a zero. Portanto, não há valores de $ y $ que satisfaçam essa equação.
Resposta
A função não possui pontos críticos.