Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Tente traçar a curva.
x=t^{3}-3 t, \quad y=t^{2}-3

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=t^{3}-3t,\qquad y=t^{2}-3,
e pede:
  • encontrar os pontos onde a tangente é horizontal;
  • encontrar os pontos onde a tangente é vertical;
  • tentar traçar (descrever) a curva.
Informações importantes fornecidas: as expressões de x(t) e y(t) para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar a ferramenta que usamos em curvas paramétricas para estudar a inclinação da tangente.
  • Derivadas em relação a t: \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} medem a variação de x e y quando t muda.
  • A inclinação da reta tangente no plano é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0.
Condições para tangentes especiais:
  • tangente horizontal: \dfrac{dy}{dx}=0. Isso ocorre quando \dfrac{dy}{dt}=0 e \dfrac{dx}{dt}\neq0;
  • tangente vertical: \dfrac{dx}{dt}=0 enquanto \dfrac{dy}{dt}\neq0 (a inclinação é “infinita”);
  • se \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=0 ao mesmo tempo, pode ser um ponto singular (cúspide / ponto de inflexão paramétrico) e é preciso olhar derivadas de ordem mais alta.

Passo 3

Calcular as derivadas em relação a t.
Derivando x(t)=t^{3}-3t:
\frac{dx}{dt}=3t^{2}-3.
Derivando y(t)=t^{2}-3:
\frac{dy}{dt}=2t.

Passo 4

Escrever \dfrac{dy}{dx} (quando \dfrac{dx}{dt}\neq0):
\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{3t^{2}-3}.
Podemos notar também que 3t^{2}-3=3(t^{2}-1).

Passo 5

Encontrar tangente horizontal: resolver \dfrac{dy}{dt}=0 com \dfrac{dx}{dt}\neq0.
\dfrac{dy}{dt}=2t=0 t=0.
Verificar \dfrac{dx}{dt} em t=0:
\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=3\cdot0^{2}-3=-3\neq0,
portanto é realmente tangente horizontal.
Calcular o ponto correspondente:
x(0)=0^{3}-3\cdot0=0,\qquad y(0)=0^{2}-3=-3.
Logo há uma tangente horizontal em \left(0,-3\right).

Passo 6

Encontrar tangente vertical: resolver \dfrac{dx}{dt}=0 com \dfrac{dy}{dt}\neq0.
\dfrac{dx}{dt}=3t^{2}-3=0 implica t^{2}=1, ou seja t=\pm1.
Verificar \dfrac{dy}{dt} nesses t:
\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=1}=2\cdot1=2\neq0,\qquad \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=-1}=2\cdot(-1)=-2\neq0,
portanto ambos dão tangentes verticais.
Calcular os pontos:
  • Para t=1:
x(1)=1^{3}-3\cdot1=-2,\qquad y(1)=1^{2}-3=-2,
ponto (-2,-2).
  • Para t=-1:
x(-1)=(-1)^{3}-3(-1)=-1+3=2,\qquad y(-1)=(-1)^{2}-3=1-3=-2,
ponto (2,-2).
Logo há tangentes verticais em (-2,-2) e (2,-2).

Passo 7

Verificação de casos singulares: não existe t tal que \dfrac{dy}{dt}=0 e \dfrac{dx}{dt}=0 simultaneamente, porque isso exigiria t=0 e t^{2}=1 ao mesmo tempo, impossível. Portanto não há ponto singular deste tipo aqui.

Passo 8

Eliminar o parâmetro para ajudar a esboçar a curva e ver sua forma global.
Da definição y=t^{2}-3 temos
t^{2}=y+3.
Como x=t^{3}-3t=t(t^{2}-3)=t\cdot y, segue que
x=t\,y.
Elevando ao quadrado (para eliminar o sinal de t):
x^{2}=t^{2}y^{2}=(y+3)y^{2}=y^{2}(y+3).
Portanto a curva satisfaz implicitamente
x^{2}=y^{2}(y+3)=y^{3}+3y^{2}.
Observações úteis extraídas desta forma:
  • a equação envolve x^{2}, logo a curva é simétrica em relação ao eixo y (trocar x por -x não altera a equação);
  • interseções com os eixos: se y=0 então x^{2}=0\Rightarrow x=0 (ponto (0,0)); se y=-3 então x^{2}=(-3)^{2}(0)=0\Rightarrow x=0 (ponto (0,-3));
  • os pontos onde encontramos tangentes verticais ( (\pm2,-2)) satisfazem a equação: com y=-2, x^{2}=(-2)^{2}(-2+3)=4\cdot1=4\Rightarrow x=\pm2.

Passo 9

Comportamento e esboço (dicas para traçar à mão):
  • Pontos-chave: (0,-3) (tangente horizontal), (-2,-2) e (2,-2) (tangentes verticais), e (0,0) (passa pelo origem, ocorre para t=\pm\sqrt{3}).
  • Simetria: a curva tem simetria em relação ao eixo y (espelhamento em x\mapsto -x).
  • Sinais da inclinação \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2t}{3(t^{2}-1)}: os valores críticos de t para o sinal são t=-1,0,1. Fazendo um quadro de sinais:
    • t<-1: \dfrac{dy}{dx}<0 (slope negativo);
    • -1<t<0: \dfrac{dy}{dx}>0 (slope positivo);
    • 0<t<1: \dfrac{dy}{dx}<0 (slope negativo);
    • t>1: \dfrac{dy}{dx}>0 (slope positivo).
      Isso ajuda a desenhar como a curva sobe e desce entre os pontos importantes.
  • Comportamento para |t| grande: y\sim t^{2}\to+\infty e x\sim t^{3} tende a +\infty para t\to+\infty e a -\infty para t\to-\infty. Assim a curva tem dois ramos que vão para y muito grande, um à direita (para t\gg0) e outro à esquerda (para t\ll0).
Traço esquemático (como desenhar):
  1. Marcar (0,-3) com tangente horizontal.
  2. Marcar (2,-2) e (-2,-2) com tangentes verticais.
  3. Marcar (0,0) (cruzamento do eixo x).
  4. Interligar respeitando a simetria e os sinais do declive: entre t=-\infty e t=-1 o ramo vem de (-\infty,+\infty) com declive negativo até (-2,-2) e passa por (0,0) quando t=-\sqrt{3}; entre -1 e 0 sobe até (0,-3) (slope positivo), etc. (Não estou desenhando aqui, mas com esses pontos a forma fica clara: dois ramos simétricos em x e uma “bolinha” à volta de y=-2 com tangentes verticais.)

Passo 10

Resumo didático rápido para prova (o que fazer passo a passo):
  1. Calcule \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
  2. Para tangente horizontal: resolva \dfrac{dy}{dt}=0 e verifique \dfrac{dx}{dt}\neq0.
  3. Para tangente vertical: resolva \dfrac{dx}{dt}=0 e verifique \dfrac{dy}{dt}\neq0.
  4. Se ambos forem zero, examine derivadas de ordem superior.
  5. Se precisar do desenho, elimine t e use a relação implícita, simetrias e pontos críticos para esboçar.

Resposta

Tangente horizontal: (0,-3)
Tangentes verticais: (-2,-2)
(2,-2)

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