tangente horizontal: \dfrac{dy}{dx}=0. Isso ocorre quando \dfrac{dy}{dt}=0 e \dfrac{dx}{dt}\neq0;
tangente vertical: \dfrac{dx}{dt}=0 enquanto \dfrac{dy}{dt}\neq0 (a inclinação é “infinita”);
se \dfrac{dx}{dt}=0 e \dfrac{dy}{dt}=0 ao mesmo tempo, pode ser um ponto singular (cúspide / ponto de inflexão paramétrico) e é preciso olhar derivadas de ordem mais alta.
Passo 3
Calcular as derivadas em relação a t.
Derivando x(t)=t^{3}-3t:
\frac{dx}{dt}=3t^{2}-3.
Derivando y(t)=t^{2}-3:
\frac{dy}{dt}=2t.
Passo 4
Escrever \dfrac{dy}{dx} (quando \dfrac{dx}{dt}\neq0):
\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{3t^{2}-3}.
Podemos notar também que 3t^{2}-3=3(t^{2}-1).
Passo 5
Encontrar tangente horizontal: resolver \dfrac{dy}{dt}=0 com \dfrac{dx}{dt}\neq0.
Verificação de casos singulares: não existe t tal que \dfrac{dy}{dt}=0 e \dfrac{dx}{dt}=0 simultaneamente, porque isso exigiria t=0 e t^{2}=1 ao mesmo tempo, impossível. Portanto não há ponto singular deste tipo aqui.
Passo 8
Eliminar o parâmetro para ajudar a esboçar a curva e ver sua forma global.
Da definição y=t^{2}-3 temos
t^{2}=y+3.
Como x=t^{3}-3t=t(t^{2}-3)=t\cdot y, segue que
x=t\,y.
Elevando ao quadrado (para eliminar o sinal de t):
x^{2}=t^{2}y^{2}=(y+3)y^{2}=y^{2}(y+3).
Portanto a curva satisfaz implicitamente
x^{2}=y^{2}(y+3)=y^{3}+3y^{2}.
Observações úteis extraídas desta forma:
a equação envolve x^{2}, logo a curva é simétrica em relação ao eixo y (trocar x por -x não altera a equação);
interseções com os eixos: se y=0 então x^{2}=0\Rightarrow x=0 (ponto (0,0)); se y=-3 então x^{2}=(-3)^{2}(0)=0\Rightarrow x=0 (ponto (0,-3));
os pontos onde encontramos tangentes verticais ((\pm2,-2)) satisfazem a equação: com y=-2, x^{2}=(-2)^{2}(-2+3)=4\cdot1=4\Rightarrow x=\pm2.
Passo 9
Comportamento e esboço (dicas para traçar à mão):
Pontos-chave: (0,-3) (tangente horizontal), (-2,-2) e (2,-2) (tangentes verticais), e (0,0) (passa pelo origem, ocorre para t=\pm\sqrt{3}).
Simetria: a curva tem simetria em relação ao eixo y (espelhamento em x\mapsto -x).
Sinais da inclinação \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2t}{3(t^{2}-1)}: os valores críticos de t para o sinal são t=-1,0,1. Fazendo um quadro de sinais:
t<-1: \dfrac{dy}{dx}<0 (slope negativo);
-1<t<0: \dfrac{dy}{dx}>0 (slope positivo);
0<t<1: \dfrac{dy}{dx}<0 (slope negativo);
t>1: \dfrac{dy}{dx}>0 (slope positivo).
Isso ajuda a desenhar como a curva sobe e desce entre os pontos importantes.
Comportamento para |t| grande: y\sim t^{2}\to+\infty e x\sim t^{3} tende a +\infty para t\to+\infty e a -\infty para t\to-\infty. Assim a curva tem dois ramos que vão para y muito grande, um à direita (para t\gg0) e outro à esquerda (para t\ll0).
Traço esquemático (como desenhar):
Marcar (0,-3) com tangente horizontal.
Marcar (2,-2) e (-2,-2) com tangentes verticais.
Marcar (0,0) (cruzamento do eixo x).
Interligar respeitando a simetria e os sinais do declive: entre t=-\infty e t=-1 o ramo vem de (-\infty,+\infty) com declive negativo até (-2,-2) e passa por (0,0) quando t=-\sqrt{3}; entre -1 e 0 sobe até (0,-3) (slope positivo), etc. (Não estou desenhando aqui, mas com esses pontos a forma fica clara: dois ramos simétricos em x e uma “bolinha” à volta de y=-2 com tangentes verticais.)
Passo 10
Resumo didático rápido para prova (o que fazer passo a passo):
Calcule \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
Para tangente horizontal: resolva \dfrac{dy}{dt}=0 e verifique \dfrac{dx}{dt}\neq0.
Para tangente vertical: resolva \dfrac{dx}{dt}=0 e verifique \dfrac{dy}{dt}\neq0.
Se ambos forem zero, examine derivadas de ordem superior.
Se precisar do desenho, elimine t e use a relação implícita, simetrias e pontos críticos para esboçar.