Esboce a curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r coomo função de \theta em coordenadas cartesianas.
(c) r=2 \cos 4 \theta
(d) r=1-2 \operatorname{sen} \theta
(e) r^{2}=9 \operatorname{sen} 2 \theta

Passo 1

O enunciado pede que, para cada uma das curvas polares abaixo, primeiro se esboce o gráfico de r como função de \theta em coordenadas cartesianas (ou seja, eixo horizontal = \theta, eixo vertical = r), e a partir deste gráfico se esboce a curva no plano polar. As curvas são:
  • (c) r=2\cos 4\theta.
  • (d) r=1-2\operatorname{sen}\theta.
  • (e) r^{2}=9\operatorname{sen} 2\theta.
Informações relevantes dadas (uma por item):
  • Para (c): r(\theta)=2\cos 4\theta é uma função periódica em \theta com amplitude 2 e frequência multiplicada por 4.
  • Para (d): r(\theta)=1-2\operatorname{sen}\theta é uma soma de uma constante 1 com uma senoide de amplitude 2; isso permite r assumir valores positivos e negativos.
  • Para (e): r^{2}=9\operatorname{sen} 2\theta r=\pm 3\sqrt{\operatorname{sen} 2\theta}; r só é real quando \operatorname{sen} 2\theta\ge 0.
O que vou produzir para cada item:
  • Esboço (descritivo) do gráfico r versus \theta: zeros, máximos, mínimos, período, intervalos com r negativo.
  • Regras e lembretes didáticos (por que negativos importam, como transformar o gráfico de r(\theta) em curva polar).
  • Descrição (esboço) final da curva polar: posição e número de pétalas/loops, pontos importantes (zeros, máximos), simetrias.

Passo 2

Conceitos e ferramentas essenciais (curta aula antes de aplicar):
  • Gráfico r(\theta): é o gráfico da função real r ao longo de \theta. Zeros de r correspondem ao polo (origem) na curva polar. Valores negativos de r significam que o ponto fica no sentido oposto: o par polar (r,\theta) com r<0 é equivalente a (|r|,\theta+\pi).
  • Período: se r(\theta+T)=r(\theta) então basta analisar um intervalo de comprimento T.
  • Simetrias úteis:
    • Se r(-\theta)=r(\theta) a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo x).
    • Se r(\pi-\theta)=r(\theta) há simetria em relação ao eixo vertical do sistema polar.
    • Para r(\theta)=\cos(n\theta) ou \sin(n\theta) é comum obter curvas “rose” com múltiplas pétalas: se n é ímpar: n pétalas; se n é par: 2n pétalas (quando a fórmula é do tipo r=a\cos n\theta ou r=a\operatorname{sen} n\theta).
  • Como esboçar: achar zeros, máximos (onde |r| é máximo), intervalo entre zeros (dá largura angular de pétalas/loops), e marcar valores amostrais para \theta importantes.

Passo 3

Item (c): analisar r(\theta)=2\cos 4\theta.
  1. Período e amplitude:
  • A função \cos 4\theta tem período T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}. Logo r(\theta) se repete a cada \pi/2.
  • Amplitude é 2: r\in[-2,2].
  1. Zeros de r:
  • Zeros ocorrem quando \cos 4\theta=0. Assim
4\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4},\quad k\in\mathbb{Z}.
Ou seja, zeros espaçados de \pi/4 (45°), começando em \theta=\pi/8.
  1. Máximos e mínimos (onde |r| é máximo):
  • \cos 4\theta=1 r=2. Isso ocorre quando 4\theta=2k\pi\Rightarrow \theta=k\frac{\pi}{2}.
  • \cos 4\theta=-1 r=-2. Isso ocorre quando 4\theta=(2k+1)\pi\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}.
  1. Gráfico r versus \theta (descrição):
  • No intervalo [0,\pi/2) o padrão é: r(0)=2, decresce até zero em \theta=\pi/8, atinge -2 em \theta=\pi/4, volta a zero em \theta=3\pi/8, e retorna a 2 em \theta=\pi/2. Esse padrão se repete a cada \pi/2.
  1. Tradução para a curva polar (como desenhar):
  • Quando r é positivo entre zeros, traça-se pétala voltada na direção de \theta naquele intervalo.
  • Quando r é negativo, o ponto é projetado para \theta+\pi, gerando pétalas adicionais.
  • Para funções r=a\cos(n\theta) com n=4 (par), o número de pétalas é 2n=8. Cada pétala tem comprimento máximo |a|=2 (o valor máximo de |r|).
  • Direções das pétalas: máximos positivos em \theta=k\frac{\pi}{2} (portanto pétalas em 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2} vindas de r=+2), e máximos negativos correspondem a pétalas apontando para \theta=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} (pois r=-2 em \theta=\pi/4 é equivalente a ponto com r=2 em \theta=\pi/4+\pi=\tfrac{5\pi}{4}, produzindo as pétalas “intercaladas”). Em conjunto, há 8 pétalas uniformemente espaçadas a cada \pi/4.
Resumo didático (c): o gráfico r(\theta) é uma cossenoide rápida com amplitude 2 e período \pi/2; a curva polar é uma rosa de 8 pétalas iguais de comprimento 2, espaçadas de \pi/4.

Passo 4

Item (c) — exemplo de pontos para desenhar (tabela curta, útil na prova):
  • \theta=0\Rightarrow r=2 (ponto na direção 0 de distância 2).
  • \theta=\pi/8\Rightarrow r=0 (polo).
  • \theta=\pi/4\Rightarrow r=-2 (equivalente a r=2 em \theta=\pi/4+\pi=\tfrac{5\pi}{4}).
  • \theta=3\pi/8\Rightarrow r=0.
  • \theta=\pi/2\Rightarrow r=2 (repete).
Com esses pontos e sabendo o padrão periódico, desenha-se as 8 pétalas homogêneas.

Passo 5

Item (d): analisar r(\theta)=1-2\operatorname{sen}\theta.
  1. Intervalo e alcance:
  • \operatorname{sen}\theta\in[-1,1]. Então
r_{\min}=1-2(1)=-1,\qquad r_{\max}=1-2(-1)=3.
Logo r varia entre -1 e 3.
  1. Zeros de r (interseções com o polo):
  • Resolver 1-2\operatorname{sen}\theta=0\Rightarrow \operatorname{sen}\theta=\tfrac{1}{2}.
  • As soluções fundamentais no intervalo [0,2\pi) são
\theta=\frac{\pi}{6}\quad\text{e}\quad \theta=\frac{5\pi}{6}.
Nesses ângulos a curva passa pelo polo.
  1. Intervalos com r negativo:
  • r<0 quando \operatorname{sen}\theta>\tfrac{1}{2}, isto é para \theta\in\left(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right). Nesses \theta a “posição” real será para \theta+\pi com r>0.
  1. Máximos e mínimos:
  • Máximo r=3 ocorre quando \operatorname{sen}\theta=-1, isto é em \theta=\tfrac{3\pi}{2}.
  • Mínimo r=-1 ocorre quando \operatorname{sen}\theta=1, em \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  1. Tipo de curva:
  • A forma r=a+b\operatorname{sen}\theta com |b|>|a| (aqui |b|=2>1=|a|) gera uma limaçon com laço interno (inner loop). O laço interno aparece porque existem \theta com r<0; esses segmentos negativos geram o laço quando passados para \theta+\pi.
  1. Gráfico r versus \theta (descrição):
  • É uma senoide vertical deslocada: em \theta=0, r(0)=1; cresce até r=\,? em \theta=\pi/2 where r=-1; etc. Zeros em \pi/6 e 5\pi/6. Melhor visualizar marcando pontos-chave: r(0)=1, r(\pi/6)=0, r(\pi/2)=-1, r(3\pi/2)=3.
  1. Tradução para o plano polar (como desenhar):
  • Entre \theta=0 e \theta=\pi/6 temos r>0: traçar curva que sai do polo e forma parte do ramo exterior.
  • Entre \pi/6 e 5\pi/6 temos r<0: os pontos são projetados para \theta+\pi, formando o laço interno (pequena volta que passa pelo polo).
  • Entre 5\pi/6 e 2\pi+\pi/6 o padrão se repete até fechar a curva.
  • Picos: ponto mais distante do polo (bordo externo) em \theta=3\pi/2 com distância 3.
Resumo didático (d): r=1-2\operatorname{sen}\theta é uma limaçon com laço interno; dedos para desenhar: zeros em \theta=\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}, máximo r=3 em \theta=\tfrac{3\pi}{2}, mínimo r=-1 em \theta=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Item (d) — pontos práticos para desenhar na prova:
  • \theta=0\Rightarrow r=1 (ponto no eixo positivo x a 1).
  • \theta=\pi/6\Rightarrow r=0 (polo).
  • \theta=\pi/2\Rightarrow r=-1 (equivalente a r=1 em \theta=\pi/2+\pi=3\pi/2).
  • \theta=3\pi/2\Rightarrow r=3 (ponto mais afastado, na direção 3\pi/2, isto é eixo negativo y distante 3).
  • \theta=5\pi/6\Rightarrow r=0 (polo novamente).
Com esses pontos e sabendo que a curva é contínua e fecha em 2\pi, desenha-se a limaçon com um laço interno pequeno e uma “barriga” externa grande que atinge 3 no sentido \tfrac{3\pi}{2}.

Passo 7

Item (e): analisar r^{2}=9\operatorname{sen} 2\theta.
  1. Domínio real de r:
  • Como r^{2} deve ser \ge 0, precisamos de \operatorname{sen} 2\theta \ge 0.
  • \operatorname{sen} 2\theta \ge 0 quando 2\theta \in [0,\pi] + 2k\pi. Assim, para \theta,
\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right]\quad (\text{e repete a cada }2\pi).
Nessas faixas r=\pm 3\sqrt{\operatorname{sen} 2\theta} é real; fora delas não há pontos reais (ou seja, a curva não existe para esses \theta).
  1. Zeros (polo):
  • Zeros quando \operatorname{sen} 2\theta=0\Rightarrow 2\theta=k\pi\Rightarrow \theta=k\frac{\pi}{2}.
  • Assim \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},\dots são valores onde r=0.
  1. Máximos:
  • \operatorname{sen} 2\theta atinge 1 quando 2\theta=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{4}+k\pi.
  • Nesses \theta temos r^{2}=9\Rightarrow |r|=3. Então máximos absolutos ocorrem em \theta=\tfrac{\pi}{4} e \theta=\tfrac{5\pi}{4} (no segundo intervalo de existência).
  1. Tipo de curva:
  • A equação r^{2}=a^{2}\operatorname{sen} 2\theta com constante positiva descreve a lemniscata (uma “8” de Bernoulli) orientada ao longo da bissetriz dos eixos. Em particular:
    • r^{2}=9\operatorname{sen} 2\theta tem duas “folhas” (laços): uma ocupando ângulos \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (lobo no quadrante I) e outra para \theta\in[\pi,\tfrac{3\pi}{2}] (lobo no quadrante III).
    • Cada lobo tem seu ponto mais distante do polo em \theta=\tfrac{\pi}{4} (primeiro lobo) e \theta=\tfrac{5\pi}{4} (segundo lobo), com raio máximo 3.
  1. Gráfico r versus \theta (descrição):
  • No intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}]: r(0)=0, cresce até r=3 em \theta=\tfrac{\pi}{4}, decresce até r=0 em \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • No intervalo [\tfrac{\pi}{2},\pi) temos \operatorname{sen} 2\theta<0 portanto r não real — nada para plotar naquele \theta.
  • Em [\pi,\tfrac{3\pi}{2}] o padrão se repete para o segundo lobo.
  1. Tradução para o plano polar (como desenhar):
  • Os zeros em \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2} são os pontos onde os dois lobos se encontram no polo.
  • Cada lobo ocupa ângulo de largura \tfrac{\pi}{2} (45° de cada lado da direção central \theta=\tfrac{\pi}{4}), criando uma figura em forma de “8” simétrica em relação à origem.
  • A curva é simétrica por rotação de \pi (o segundo lobo é a rotação do primeiro por 180°).
Resumo didático (e): r^{2}=9\operatorname{sen} 2\theta é uma lemniscata com duas folhas simétricas, zeros em \theta=k\frac{\pi}{2}, máximos |r|=3 em \theta=\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{5\pi}{4}; existe só onde \operatorname{sen} 2\theta\ge 0.

Passo 8

Item (e) — pontos práticos para desenhar na prova:
  • \theta=0\Rightarrow r=0.
  • \theta=\pi/8\Rightarrow r^{2}=9\operatorname{sen}(\pi/4)=9\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow r=3\sqrt{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} (um valor intermediário, útil só para forma).
  • \theta=\pi/4\Rightarrow r=\pm 3 (pegar r=3 para o lobo no quadrante I).
  • \theta=\pi/2\Rightarrow r=0.
  • Repetir simetricamente no intervalo [\pi,\tfrac{3\pi}{2}] para o segundo lobo.
Dica prática: desenhe primeiro os zeros (polo) e a direção das máximas ( \theta=\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{5\pi}{4}), e trace curvas fechadas entre os zeros com pico no meio.

Resposta

(c) A função r=2\cos 4\theta: gráfico r(\theta) é uma cossenoide de período \tfrac{\pi}{2}, zeros em \theta=\tfrac{\pi}{8}+k\tfrac{\pi}{4}, máximos r=2 em \theta=k\tfrac{\pi}{2} e mínimos r=-2 em \theta=\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}. A curva polar é uma rosa de 8 pétalas idênticas, cada pétala de comprimento 2, espaçadas a cada \tfrac{\pi}{4}.
(d) A função r=1-2\operatorname{sen}\theta: gráfico r(\theta) é uma senoide deslocada com alcance [-1,3], zeros em \theta=\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}, mínimo r=-1 em \theta=\tfrac{\pi}{2} e máximo r=3 em \theta=\tfrac{3\pi}{2}. A curva polar é uma limaçon com laço interno (inner loop): o laço é gerado pelo trecho de \theta em que r<0 (entre \tfrac{\pi}{6} e \tfrac{5\pi}{6}), e há um ramo externo que atinge distância 3 na direção \theta=\tfrac{3\pi}{2}.
(e) A equação r^{2}=9\operatorname{sen} 2\theta: r é real apenas quando \operatorname{sen} 2\theta\ge 0, isto é para \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\cup[\pi,\tfrac{3\pi}{2}]. Zeros em \theta=k\tfrac{\pi}{2}, máximos |r|=3 em \theta=\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{5\pi}{4}. A curva polar é uma lemniscata (figura em 8) com duas folhas simétricas, cada folha com raio máximo 3 e centrada nas direções \theta=\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{5\pi}{4}.

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