Esboce a curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de
coomo função de
em coordenadas cartesianas.
(c)
(d)
(e)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede que, para cada uma das curvas polares abaixo, primeiro se esboce o gráfico de
como função de
em coordenadas cartesianas (ou seja, eixo horizontal =
, eixo vertical =
), e a partir deste gráfico se esboce a curva no plano polar. As curvas são:
- (c)
. - (d)
. - (e)
.
Informações relevantes dadas (uma por item):
- Para (c):
é uma função periódica em com amplitude e frequência multiplicada por . - Para (d):
é uma soma de uma constante com uma senoide de amplitude ; isso permite assumir valores positivos e negativos. - Para (e):
dá ; só é real quando .
O que vou produzir para cada item:
- Esboço (descritivo) do gráfico
versus : zeros, máximos, mínimos, período, intervalos com negativo. - Regras e lembretes didáticos (por que negativos importam, como transformar o gráfico de
em curva polar). - Descrição (esboço) final da curva polar: posição e número de pétalas/loops, pontos importantes (zeros, máximos), simetrias.
Passo 2
Conceitos e ferramentas essenciais (curta aula antes de aplicar):
- Gráfico
: é o gráfico da função real ao longo de . Zeros de correspondem ao polo (origem) na curva polar. Valores negativos de significam que o ponto fica no sentido oposto: o par polar com é equivalente a . - Período: se
então basta analisar um intervalo de comprimento . - Simetrias úteis:
- Se
a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo ). - Se
há simetria em relação ao eixo vertical do sistema polar. - Para
ou é comum obter curvas “rose” com múltiplas pétalas: se é ímpar: pétalas; se é par: pétalas (quando a fórmula é do tipo ou ).
- Se
- Como esboçar: achar zeros, máximos (onde
é máximo), intervalo entre zeros (dá largura angular de pétalas/loops), e marcar valores amostrais para importantes.
Passo 3
Item (c): analisar
.
- Período e amplitude:
- A função
tem período . Logo se repete a cada . - Amplitude é
: .
- Zeros de
:
- Zeros ocorrem quando
. Assim
Ou seja, zeros espaçados de
(45°), começando em
.
- Máximos e mínimos (onde
é máximo):
-
dá . Isso ocorre quando . -
dá . Isso ocorre quando .
- Gráfico
versus (descrição):
- No intervalo
o padrão é: , decresce até zero em , atinge em , volta a zero em , e retorna a em . Esse padrão se repete a cada .
- Tradução para a curva polar (como desenhar):
- Quando
é positivo entre zeros, traça-se pétala voltada na direção de naquele intervalo. - Quando
é negativo, o ponto é projetado para , gerando pétalas adicionais. - Para funções
com (par), o número de pétalas é . Cada pétala tem comprimento máximo (o valor máximo de ). - Direções das pétalas: máximos positivos em
(portanto pétalas em vindas de ), e máximos negativos correspondem a pétalas apontando para (pois em é equivalente a ponto com em , produzindo as pétalas “intercaladas”). Em conjunto, há 8 pétalas uniformemente espaçadas a cada .
Resumo didático (c): o gráfico
é uma cossenoide rápida com amplitude 2 e período
; a curva polar é uma rosa de 8 pétalas iguais de comprimento
, espaçadas de
.
Passo 4
Item (c) — exemplo de pontos para desenhar (tabela curta, útil na prova):
-
(ponto na direção de distância ). -
(polo). -
(equivalente a em ). -
. -
(repete).
Com esses pontos e sabendo o padrão periódico, desenha-se as 8 pétalas homogêneas.
Passo 5
Item (d): analisar
.
- Intervalo e alcance:
-
. Então
Logo
varia entre
e
.
- Zeros de
(interseções com o polo):
- Resolver
. - As soluções fundamentais no intervalo
são
Nesses ângulos a curva passa pelo polo.
- Intervalos com
negativo:
-
quando , isto é para . Nesses a “posição” real será para com .
- Máximos e mínimos:
- Máximo
ocorre quando , isto é em . - Mínimo
ocorre quando , em .
- Tipo de curva:
- A forma
com (aqui ) gera uma limaçon com laço interno (inner loop). O laço interno aparece porque existem com ; esses segmentos negativos geram o laço quando passados para .
- Gráfico
versus (descrição):
- É uma senoide vertical deslocada: em
, ; cresce até em where ; etc. Zeros em e . Melhor visualizar marcando pontos-chave: , , , .
- Tradução para o plano polar (como desenhar):
- Entre
e temos : traçar curva que sai do polo e forma parte do ramo exterior. - Entre
e temos : os pontos são projetados para , formando o laço interno (pequena volta que passa pelo polo). - Entre
e o padrão se repete até fechar a curva. - Picos: ponto mais distante do polo (bordo externo) em
com distância .
Resumo didático (d):
é uma limaçon com laço interno; dedos para desenhar: zeros em
, máximo
em
, mínimo
em
.
Passo 6
Item (d) — pontos práticos para desenhar na prova:
-
(ponto no eixo positivo a 1). -
(polo). -
(equivalente a em ). -
(ponto mais afastado, na direção , isto é eixo negativo distante ). -
(polo novamente).
Com esses pontos e sabendo que a curva é contínua e fecha em
, desenha-se a limaçon com um laço interno pequeno e uma “barriga” externa grande que atinge 3 no sentido
.
Passo 7
Item (e): analisar
.
- Domínio real de
:
- Como
deve ser , precisamos de . -
quando . Assim, para ,
Nessas faixas
é real; fora delas não há pontos reais (ou seja, a curva não existe para esses
).
- Zeros (polo):
- Zeros quando
. - Assim
são valores onde .
- Máximos:
-
atinge quando . - Nesses
temos . Então máximos absolutos ocorrem em e (no segundo intervalo de existência).
- Tipo de curva:
- A equação
com constante positiva descreve a lemniscata (uma “8” de Bernoulli) orientada ao longo da bissetriz dos eixos. Em particular: -
tem duas “folhas” (laços): uma ocupando ângulos (lobo no quadrante I) e outra para (lobo no quadrante III). - Cada lobo tem seu ponto mais distante do polo em
(primeiro lobo) e (segundo lobo), com raio máximo .
-
- Gráfico
versus (descrição):
- No intervalo
: , cresce até em , decresce até em . - No intervalo
temos portanto não real — nada para plotar naquele . - Em
o padrão se repete para o segundo lobo.
- Tradução para o plano polar (como desenhar):
- Os zeros em
são os pontos onde os dois lobos se encontram no polo. - Cada lobo ocupa ângulo de largura
(45° de cada lado da direção central ), criando uma figura em forma de “8” simétrica em relação à origem. - A curva é simétrica por rotação de
(o segundo lobo é a rotação do primeiro por 180°).
Resumo didático (e):
é uma lemniscata com duas folhas simétricas, zeros em
, máximos
em
e
; existe só onde
.
Passo 8
Item (e) — pontos práticos para desenhar na prova:
-
. -
(um valor intermediário, útil só para forma). -
(pegar para o lobo no quadrante I). -
. - Repetir simetricamente no intervalo
para o segundo lobo.
Dica prática: desenhe primeiro os zeros (polo) e a direção das máximas (
e
), e trace curvas fechadas entre os zeros com pico no meio.
Resposta
(c) A função
: gráfico
é uma cossenoide de período
, zeros em
, máximos
em
e mínimos
em
. A curva polar é uma rosa de 8 pétalas idênticas, cada pétala de comprimento
, espaçadas a cada
.
(d) A função
: gráfico
é uma senoide deslocada com alcance
, zeros em
, mínimo
em
e máximo
em
. A curva polar é uma limaçon com laço interno (inner loop): o laço é gerado pelo trecho de
em que
(entre
e
), e há um ramo externo que atinge distância
na direção
.
(e) A equação
:
é real apenas quando
, isto é para
. Zeros em
, máximos
em
e
. A curva polar é uma lemniscata (figura em 8) com duas folhas simétricas, cada folha com raio máximo
e centrada nas direções
e
.