Encontre os pontos da curva y=x^{2}-6 x^{2}+4 onde a reta tangente é horizontal.
Passo 1
O enunciado dá a função
y = x^3 - 6x^2 + 4
e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal. O conteúdo envolvido é derivação de polinômio e o critério para tangente horizontal é ter derivada igual a zero.
Passo 2
Calculemos a derivada de y em relação a x. Para polinômios usamos a regra do expoente:
\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x.
Passo 3
Para a reta tangente ser horizontal precisamos de
\frac{dy}{dx} = 0
Logo, resolvendo
3x^2 - 12x = 0
fatoramos:
3x(x - 4) = 0
dando as soluções
x = 0 \quad\text{ou}\quad x = 4.
Passo 4
Agora encontramos os respectivos valores de y.
Para x = 0:
y(0) = 0^3 - 6\cdot0^2 + 4 = 4.
Para x = 4:
y(4) = 4^3 - 6\cdot4^2 + 4 = 64 - 96 + 4 = -28.
Resposta
Os pontos da curva com reta tangente horizontal são (0,4) e (4,-28).