- ( Ex. 5.1.1 e 5.1.2 do livro texto) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de
e
?
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
.
Os vetores
e
acima são L.I ou L.D? Caso sejam L.D, escreva um deles como combinação linear dos outros.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e pergunta quais dos vetores
e pergunta quais dos vetores
são combinação linear de
. Além disso, pede para verificar se
são L.I. ou L.D. e, se L.D., expressar um deles pelos outros.
Passo 2
Para ver se
são L.D., tentamos expressar
como combinação de
e
:
Das componentes obtemos o sistema
Passo 3
Da primeira equação vem
. Substituindo em
dá
e verifica-se que
. Logo
os vetores são L.D.
Passo 4
Como
está no span de
, qualquer combinação de
pode ser escrita como
Para testar se um vetor
é combinação, igualamos
e verificamos consistência.
Passo 5
Para
: da primeira equação
. Na segunda,
e na terceira
, coincide com
. Logo é combinação:
Passo 6
Para
:
. Então
Mas
. Não é combinação.
Passo 7
Para
:
. Então
e
coincide com
. É combinação:
Passo 8
Para
:
. Então
mas
. Não é combinação.
Resposta
(a) e (c) são combinações lineares de
.
Os vetores são linearmente dependentes, com
Os vetores