1. ( Ex. 5.1.1 e 5.1.2 do livro texto) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de V_{1}=(5,-3,1), V_{2}=(0,4,3) e V_{3}=(-10,18,7) ?
    (a) (10,-2,5);
    (b) \{(-2,-1,1);
    (c) (10,2,8);
    (d) (-1,2,3).
Os vetores V_{1}, V_{2} e V_{3} acima são L.I ou L.D? Caso sejam L.D, escreva um deles como combinação linear dos outros.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \;V_{1}=(5,-3,1),\;V_{2}=(0,4,3),\;V_{3}=(-10,18,7)
e pergunta quais dos vetores
(a)\;(10,-2,5),\quad (b)\;(-2,-1,1),\quad \text{(c)}\;(10,2,8),\quad (d)\;(-1,2,3)
são combinação linear de V_{1},V_{2},V_{3}. Além disso, pede para verificar se V_{1},V_{2},V_{3} são L.I. ou L.D. e, se L.D., expressar um deles pelos outros.

Passo 2

Para ver se V_{1},V_{2},V_{3} são L.D., tentamos expressar V_{3} como combinação de V_{1} e V_{2}:
aV_{1}+bV_{2} = a(5,-3,1)+b(0,4,3) =(5a,\,-3a+4b,\;a+3b) \stackrel{?}{=}(-10,18,7).
Das componentes obtemos o sistema
5a=-10,\quad -3a+4b=18,\quad a+3b=7.

Passo 3

Da primeira equação vem a=-2. Substituindo em -3a+4b=18
-3(-2)+4b=18\\ \Longrightarrow\\\ 6+4b=18\\ \Longrightarrow\\ b=3,
e verifica-se que a+3b=-2+9=7. Logo
V_{3} = -2\,V_{1} + 3\,V_{2},
os vetores são L.D.

Passo 4

Como V_{3} está no span de V_{1},V_{2}, qualquer combinação de V_{1},V_{2},V_{3} pode ser escrita como
u\,V_{1}+v\,V_{2}=(5u,\,-3u+4v,\;u+3v).
Para testar se um vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) é combinação, igualamos
5u = x_{1},\quad -3u+4v = x_{2},\quad u+3v = x_{3},
e verificamos consistência.

Passo 5

Para (10,-2,5): da primeira equação u=10/5=2. Na segunda,
-3\cdot2 +4v = -2\\ \Longrightarrow\\\ -6+4v=-2\\ \Longrightarrow\\ v=1,
e na terceira u+3v=2+3=5, coincide com x_{3}=5. Logo é combinação:
(10,-2,5)=2V_{1}+1V_{2}.

Passo 6

Para (-2,-1,1): u=-2/5. Então
-3(-2/5)+4v=-1\\ \Longrightarrow\\\ 6/5+4v=-1\\ \Longrightarrow\\ v=-\tfrac{11}{20}.
Mas u+3v=-\tfrac{2}{5}-\tfrac{33}{20}=-\tfrac{41}{20}\neq1. Não é combinação.

Passo 7

Para (10,2,8): u=10/5=2. Então
-3\cdot2+4v=2\\ \Longrightarrow\\\ -6+4v=2\\ \Longrightarrow\\ v=2,
e u+3v=2+6=8 coincide com x_{3}. É combinação:
(10,2,8)=2V_{1}+2V_{2}.

Passo 8

Para (-1,2,3): u=-1/5. Então
-3(-1/5)+4v=2\\ \Longrightarrow\\\ 3/5+4v=2\\ \Longrightarrow\\ v=\tfrac{7}{20},
mas u+3v=-\tfrac{1}{5}+\tfrac{21}{20}=\tfrac{17}{20}\neq3. Não é combinação.

Resposta

(a) e (c) são combinações lineares de V_{1},V_{2},V_{3}.
Os vetores V_{1},V_{2},V_{3} são linearmente dependentes, com
V_{3} = -2\,V_{1} + 3\,V_{2}.

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