Considere todos os números inteiros que podemos formar trocando de posição os dígitos do número 3.452. Quantos desses números são menores do que 3.452? Quantos desses números são maiores do que 3.452 ?

Passo 1

O enunciado nos dá o número inteiro 3452 e pede que, ao permutar seus quatro dígitos distintos, contemos quantos dos números formados são menores que 3452 e quantos são maiores. O conteúdo envolvido é permutação de dígitos e comparação lexicográfica de números.

Passo 2

Como os dígitos são todos distintos, o total de permutações de quatro dígitos é
4! = 24.
Dessas 24 permutações, uma é o próprio 3452, ficando 23 que são diferentes e, portanto, ou menores ou maiores.

Passo 3

Contagem dos que são menores que 3452:
  1. Primeiro dígito menor que 3: só pode ser 2. Isso fixa o primeiro dígito em 2 e deixa 3 dígitos livremente permutáveis, gerando
3! = 6
números.
  1. Primeiro dígito igual a 3, segundo dígito menor que 4: dos dígitos restantes \{2,4,5\}, só 2<4. Isso fixa “32” e permuta os outros 2 dígitos, gerando
2! = 2
números.
  1. Primeiro dígito 3, segundo 4, terceiro menor que 5: dos dígitos restantes \{2,5\}, só 2<5. Isso fixa “342” e sobra 1 dígito, gerando
1! = 1
número.
Somando, há
6 + 2 + 1 = 9
números menores que 3452.

Passo 4

Contagem dos que são maiores que 3452:
  1. Primeiro dígito maior que 3: pode ser 4 ou 5. Cada escolha fixa o primeiro dígito e deixa 3 dígitos permutáveis, gerando
2 \times 3! = 2 \times 6 = 12
números.
  1. Primeiro dígito 3, segundo maior que 4: dos dígitos restantes \{2,4,5\}, só 5>4. Isso fixa “35” e permuta os 2 dígitos que restam, gerando
2! = 2
números.
Somando, há
12 + 2 = 14
números maiores que 3452.

Resposta

Há 9 números menores que 3452 e 14 números maiores que 3452.

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