Considere todos os números inteiros que podemos formar trocando de posição os dígitos do número 3.452. Quantos desses números são menores do que 3.452? Quantos desses números são maiores do que 3.452 ?
Passo 1
O enunciado nos dá o número inteiro
e pede que, ao permutar seus quatro dígitos distintos, contemos quantos dos números formados são menores que
e quantos são maiores. O conteúdo envolvido é permutação de dígitos e comparação lexicográfica de números.
Passo 2
Como os dígitos são todos distintos, o total de permutações de quatro dígitos é
Dessas
permutações, uma é o próprio
, ficando
que são diferentes e, portanto, ou menores ou maiores.
Passo 3
Contagem dos que são menores que
:
- Primeiro dígito menor que
: só pode ser . Isso fixa o primeiro dígito em e deixa dígitos livremente permutáveis, gerando
números.
- Primeiro dígito igual a
, segundo dígito menor que : dos dígitos restantes , só . Isso fixa “32” e permuta os outros 2 dígitos, gerando
números.
- Primeiro dígito
, segundo , terceiro menor que : dos dígitos restantes , só . Isso fixa “342” e sobra 1 dígito, gerando
número.
Somando, há
números menores que
.
Passo 4
Contagem dos que são maiores que
:
- Primeiro dígito maior que
: pode ser ou . Cada escolha fixa o primeiro dígito e deixa dígitos permutáveis, gerando
números.
- Primeiro dígito
, segundo maior que : dos dígitos restantes , só . Isso fixa “35” e permuta os 2 dígitos que restam, gerando
números.
Somando, há
números maiores que
.
Resposta
Há 9 números menores que
e 14 números maiores que
.