Encontre os pontos nos quais f é descontínua.
(a) f(x)= 1+x^2 & se x <= 0 2-x & se 02
(b) f(x)= x+2 & se x <= 0 e^x & se 01
© f(x)= cos x & se x<0 0 & se x=0 1-x^2 & se x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos onde a função $ f $ é descontínua. Isso envolve entender o que é uma função descontínua e como identificar esses pontos. Vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções e analisar os limites das funções nos pontos críticos. Vou te explicar cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte (a)

A função é definida por partes:
f(x)= 1 + x^2 & se x <= 0 2 - x & se 0 < x <= 2 (x - 2)^2 & se x > 2
Primeiro, precisamos identificar onde a função muda de definição, ou seja, nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Esses são os candidatos a possíveis pontos de descontinuidade.

Ponto $ x = 0 $:

  1. Limite pela esquerda ($ x \to 0^- $):
    x = 0
  2. Limite pela direita ($ x \to 0^+ $):
    x = 2
  3. Valor da função em $ x = 0 $:
    x = 0
Como $ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 $ e $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 $, os limites não são iguais. Portanto, a função é descontínua em $ x = 0 $.

Ponto $ x = 2 $:

  1. Limite pela esquerda ($ x \to 2^- $):
    x to 0^-
  2. Limite pela direita ($ x \to 2^+ $):
    limx to 0^- f(x) = 1 + (0)^2 = 1
  3. Valor da função em $ x = 2 $:
    x to 0^+
Aqui, $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 0 $. Os limites são iguais e coincidem com o valor da função, então não há descontinuidade em $ x = 2 $.

Passo 3

Parte (b)

A função é definida por partes:
f(x)= x + 2 & se x <= 0 e^x & se 0 < x <= 1 2 - x & se x > 1
Identificamos os pontos de mudança de definição em $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Ponto $ x = 0 $:

  1. Limite pela esquerda ($ x \to 0^- $):
    x = 0
  2. Limite pela direita ($ x \to 0^+ $):
    x = 1
  3. Valor da função em $ x = 0 $:
    x = 0
Como $ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 $ e $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 $, os limites não são iguais. Portanto, há descontinuidade em $ x = 0 $.

Ponto $ x = 1 $:

  1. Limite pela esquerda ($ x \to 1^- $):
    x to 0^-
  2. Limite pela direita ($ x \to 1^+ $):
    limx to 0^- f(x) = 0 + 2 = 2
  3. Valor da função em $ x = 1 $:
    x to 0^+
Aqui, $ \lim_{x \to 1^-} f(x) \approx 2.718 $ e $ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 $, os limites são diferentes. Logo, a função é descontínua em $ x = 1 $.

Passo 4

Parte ©

A função é definida por partes:
f(x)= cos x & se x < 0 0 & se x = 0 1 - x^2 & se x > 0
Aqui, o único ponto de mudança de definição é em $ x = 0 $.

Ponto $ x = 0 $:

  1. Limite pela esquerda ($ x \to 0^- $):
    x = 0
  2. Limite pela direita ($ x \to 0^+ $):
    x = 0
  3. Valor da função em $ x = 0 $:
    x to 0^-
Embora os limites pela esquerda e pela direita sejam iguais a 1, o valor da função em $ x = 0 $ é 0. Como $ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \neq f(0) = 0 $, a função é descontínua em $ x = 0 $.

Resposta

a) A função $ f $ é descontínua em $ x = 0 $.
b) A função $ f $ é descontínua em $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
c) A função $ f $ é descontínua em $ x = 0 $.

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